Développements analytiques qui complètent la théorie des Maxima et Minima etc. (23) 173 



de deux. Pour le faire voir, appliquons le même mode de transformation que plus haut à la 

 différentielle du second ordre d'une fonction à quatre variables; soit 



u = f{ x > 2/< 2 » P) 

 la fonction donnée. Ayant résolu les équations 



= 0, p = 0, p = o, p = o, 



dx dy dz dp 



et en ayant déduit le système 



x = a, y = b, z = c, p = h, 



on le substitue dans les dix dérivées partielles du second ordre de la fonction u. Si, dans cette 

 hypothèse, l'on pose pour abréger 



£ï _ . a - - A A — - ■ A B etc 



dx 2 — ^o' dxdy — A 0 A > dxdz — A r elC " 



et que l'on fasse de plus 



dx dy j, dz 



d~p — ' dp — ' dp — ' 



on aura 



d 2 u = ^p + 2(ir+ BT' -t- C)t + Dr 2 H-2 (ET 1 #r' 2 —t- 2 AT' -+- £,]. 



Pour que le polynôme, entre les parenthèses carrées, reste constamment positif, il faudra 

 que l'on ait la condition 



DT 2 — i— 2(ET' -+- G)T -+- AT' 2 -h 2AT' + t- (ir + BT' h- C) 2 > 0, 



ou bien 



(D — 4 2 )r 2 -+- 2[(£ — AB)T' -+- G — JC]r 

 _h (//_ tf 2 )r' 2 -+- 2(A — BC)T' -+- L — C 2 > 0. 



Voilà donc notre polynôme à Jrow variables t, T et T réduit à une expression qui n'eu 

 renferme plus que deux, nommément T et T'. En y appliquant le procédé connu, on obtiendra 

 immédiatement, d'abord la condition 



D — A 2 > 0, 



et puis 



(D — A 2 ^{H— B 2 )T' 2 + 2(K — BC) ï-t-L— C 2 j — jj£ — AB)T -t-G — AC^ > 0, 

 ou bien, par le développement, 



^D—A 2 ){H—B 2 ) — (E—AB) 2 ^T' 2 ^2^(D — A 2 ){K — BC) — {Ë—AB){G—AC)'jT' 

 -+- (D — ^ 2 )(L — C' 2 ) — (G — ,1C) 2 > 0. 



