174 (24) 



V. BOUNIAKO WSKÏ. 



Pour que cette expression du second degré, qui ne contient plus que la seule arbitraire T , con- 

 serve constamment le signe plus, on devra avoir les deux conditions simultanées 



(D — A 2 )(H — B 2 ) — (E — ABf > 0 



et [(D — A*) (L — C 2 ) — {G — AC) 2 ~j [(D — A*) {H — B 2 ) — (E — ABf'j 



— \(D — A 2 )(K — BC) — (E—AB){G — AC)J > 0, 



lesquelles, avec la première condition 



D — A 2 > 0, 



trouvée tout-à-l'heure, fournissent les caractères, nécessaires et suffisants, pour assurer l'inva- 

 riabilité du signe de la différentielle d 2 u; ces trois conditions remplies, la différentielle d 2 u sera 

 positive ou négative suivant que la quantité A 0 = -p^ sera elle-même positive ou négative. 



12. Quoique dans les deux numéros précédents nous n'ayons traité que des cas parti- 

 culiers, mais il est visible que l'analyse qui a été exposée s'applique au cas général. Quelque 

 soit le nombre de variables dont dépend la fonction donnée, et quelque soit le nombre de diffé- 

 rentielles consécutives qui s'annulent identiquement, en supposant ce dernier comme de raison 

 impair, on pourra toujours trouver les caractères qui assurent l'invariabilité du signe de la 

 première différentielle de l'ordre pair qui ne se réduit pas identiquement à zéro. Quant à la 

 prolixité des calculs, exigés par la méthode générale, elle est inhérente à la nature de la 

 question. Dans des cas particuliers, on pourra souvent abréger ces calculs par des artifices 

 d'analyse appropriés aux particularités du problème que l'on résout. 



Nous terminerons le Mémoire en faisant observer que le procédé exposé dans le no. 5 

 peut facilent être appliqué à la recherche des conditions pour qu'une équation d'un degré quel- 

 conque, pair ou impair, ait un nombre déterminé de racines réelles. Cette extension du pro- 

 cédé, entièrement fondé sur le théorème de Sturm, ne présente aucune difficulté. 



