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§ 1. Tant que la variable x reste dans le voisinage d'une même valeur, on parvient à 

 représenter avec la plus grande approximation possible une fonction quelconque f(x), sous une 

 forme donnée, par les principes du calcul différentiel. Ainsi l'on trouve la représentation 

 approximative de f(x), dans le voisinage de x = a, sous la forme d'un polynôme de degré n, 

 en «■■arrêtant dans son développement d'après la série de Taylor 



f(x) = f(a) i — f (a) h— -Ï72— / (a) ' 



au terme — -/ ''(a). On obtient de même la valeur approchée de f(x) sous la forme quel- 

 conque Z, en égalant à zéro la différence f{x) — Z et ses premières dérivées pour x = a. — 

 S'il ne s'agit que des valeurs de x qui avoisinent a, ces expressions de f[x) la représentent avec- 

 la plus grande précision dont leur forme soit susceptible. Mais cela n'a plus lieu, si la va- 

 riable x n'est assujettie qu'à rester dans des limites plus ou moins étendues. Dans ce cas les 

 recherches des valeurs approximatives de f(x) demandent des méthodes essentiellement diffé- 

 rentes de celles dont nous venons de parler. Comme le degré de précision des valeurs appro- 

 chées des fonctions se détermine par la limite de leurs erreurs, il est clair que l'on doit pren- 

 dre pour la représentation de f(x) celle des expressions qui, parmi toutes les autres de même 

 forme, s ecarte le moins de f[x) dans l'intervalle, ou Ton cherche sa valeur approchée. Or les 

 expressions approximatives des fonctions, qu'on trouve par les principes du calcul différen- 

 tiel, ne satisfont jamais a cette condition; elles ne donnent la valeur de f(x) avec la plus grande 

 précision que dans le voisinage d'une même valeur de x, ou, ce qui revient au même, dans 

 un intervalle infiniment resserré. Par conséquent, lorsque x varie entre les limites plus ou 

 moins étendues, comme cela a lieu dans la pratique, on est obligé de modifier plus ou moins 

 les expressions approximatives de f(x) qu'on trouve d'après les méthodes ordinaires. 



§ !2. Dans notre Mémoire intitule: Théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélo- 

 grammes Mémoires des savants étrangers. Tom. VU.) nous avons traité le cas. où l'on cherche 



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