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202 (2) P. TCHÉBYCHEV. 



l'expression approximative des fonctions sous la forme d'un polynôme et nous avons donné la 

 solution de ce problème: 



Trouver les modifications qu'on doit apporter dans la valeur approchée de f(x) , donnée 

 par son développement suivant les puissances croissantes de x — a, quand on cherche à rendre 

 minimum la limite de ses erreurs entre x = a — h et x — a -+- h, h étant mie valeur 

 assez petite. 



La solution de ce problème procure facilement les éléments des paraléllogrammes qui rem- 

 plissent les conditions les plus avantageuses pour la précision du jeu de ce mécanisme. Mais 

 en cherchant à résoudre les autres questions de cette espèce, nous sommes parvenu à .recon- 

 naître combien il est important d'avoir une méthode générale pour la solution des problèmes 

 analogues à celui que nous indiquons ici, et consistant à déterminer les expressions qui, parmi 

 toutes les autres de même forme, entre deux limites données, s'écartent le moins d'une fonc- 

 tion quelconque f(x). 



C'esi de la solution de pareils problèmes que nous allons maintenant nous occuper. 



§ 3. Nous commencerons par exposer un théorème général relativement à la solution 

 de ces problèmes, qu'on peut énoncer de la manière suivante: 



Etant donnée une fonction quelconque F(x) avec n paramètres arbitraires p r , p 2 ,. . . .p n , 



il s agit par un choix convenable des valeurs p x , p 2 p n de rendre minimum la limite de 



ses écarts de zéro entre x = — h et x = -+- h. 



Passant aux applications de ce théorème, nous montrerons comment il sert à obtenir les 

 équations qui fournissent la solution du problème, où l'on se propose de représenter des 

 fonctions sous la forme d'un polynôme ou d'une fraction rationnelle. — En définitive, nous 

 montrerons le parti qu'on peut tirer de la résolution de ces équations dans certains cas parti- 

 culiers, résolution que l'on effectue à l'aide des méthodes analogues à celles dont on se sert 

 dans l'Analyse de Diophante, et qui donne naissance à plusieurs théorèmes algébriques d'un 

 genre tout-à-fait nouveau. 



§ 4. Remarquons encore que les cas particuliers qui seront traités ici sont très impor- 

 tants pour la, solution de ce problème général: 



Elant donnée la valeur approchée de f(x), déduite des méthodes ordinaires, soit sons 

 la forme d'un polynôme, soit sous la forme d'une fraction, trouver les changements qu'il faut 

 faire subir aux coefficients, quand on cherche à rendre minimum la limite de ses erreurs entre 

 x = a — h et x — a -f- /t, h étant une valeur assez petite. 



Mais nous ne nous arrêterons pas cette fois à ce problème, résolu en partie dans te 

 Mémoire cité plus haut, et dont la solution fera l'objet d'un autre Mémoire. 



