Sur les questions de Minima etc. 



(3) 203 



II. 



§5. La fonction quelconque F(x), entre les limites x = — h et x = -+- h, ne s'écar- 

 tera de zéro pas plus que d'une certaine quantité L, si toutes ses valeurs depuis x = — h 

 jusqu'à x — -\- h sont comprises entre — L et -+- L, et que parmi elles il y en ait au moins 

 une égale à L ou — L. — Supposons que cette valeur de F(x) réponde à x — x y Comme 

 F{x), pour toutes les valeurs de x, comprises entre x = — h, x= -*-h, ne doit pas surpasser 

 -+- L, ni devenir inférieure à — L, il est clair que la valeur x = a? 1 qui réduit F(x) à d~ L, doit 

 être ou l'une des valeurs de x, pour lesquelles la fonction F(x) devient soit maximum soit 

 minimum, ou l'une des valeurs limites de x, c.-à-d. x — -*- h, x= — h. D'après cela, et eu 

 faisant abstraction du cas où la dérivée F (x) pour x — x^ devient infinie, nous concluons que 

 x doit vérifier l'une de ces équations 



(x — h)(x-t-h) = 0, F'(x) = 0, 



et par conséquent celle-ci 



(x — h) (x -h h) F\x) — 0, 



ou 



(x 2 — ti) F\x) = Q 



La même chose aura lieu poui toutes les valeurs de x qui, entre les limites x = — h. 

 x — -+- h, réduisent F(x) soit à -+- L, soit à — L, ou, ce qui revient au même, qui vérifient 

 l'équation 



F 2 ix) = L 2 . 



D'après cela en désignant par 



x \* x i x »- 



les valeurs de x dont nous venons de parler, nous concluons que les équations 



(1) F 2 (x) = L 2 ; (x 2 — !?) F\x) = 0 



auront p. solutions communes 



ou x , x 0 sont des valeurs réelles, différentes entre elles el comprises entre 



x — — h et x — ~+- h. 



C'est en ayant égard à ces solutions communes des équations (1) que nous chercherons à 



déterminer les valeurs des paramètres p v p 2 , p n de la fonction F(x), pour lesquelles la 



quantité L, qui désigne, comme nous l'avons vu, la limite des écarts de F(x) de 0 entre 

 x = — h et x = /i, devient la plus petite possible 



