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§ 6. Pour simpli6er ces recherches nous laissons de côté le cas, où F(x) et ses dérivées 

 par rapport à x, p if p 2 , . . . .p n cessent d'être finies et continues entre x = — li etx= + (i, 

 et dans cette hypothèse nous allons établir le théorème suivant: 



Théorème 1 . 



La quantité L qui désigne de combien la fonction F(x) s'écarte de zéro entre x = — h et 

 x = h— h, n'est pas réduite à sa plus petite valeur, si le système des équations 



( mro ^ _^ dJ ^ = 



l do. 1 a»„ 2 dit. I* 



(2) 



dp 1 1 dp 2 2 dp 



^V-4-^3L"-4- h-^X =0, 



dp % l ap 2 2 dp, P 



d Pw 1 d Pw 2 dp n « 



« o pas d'autres solutions que 



x, = o, x 2 = o, v = 0: 



a? 2 , Xp sont des valeurs de x, pour lesquelles la fonction F(x), entre x — — h et x — 



-+- h, atteint ses valeurs limites -\-L et — L; p t , p 2 , p n désignent les paramètres arbitraires 



d e F(x). 



Démonstration. 



Ce théorème découle évidemment des deux propositions suivantes que nous établirons 

 d'abord : 



1) Si les équations (2) ne sont possibles qu'autant que X, — 0, X 2 = 0 X,* = 0, 



on trouvera des valeurs finies N v JV 2 , N n satisfaisant aux [t équations 



d f0 N -+- dF ^N 9 h- H-^iV = F(xX 



dp l i dp 2 2 dp„ n v v 



(3) 



1 dPl 1 ^2 2 dP») n 2 



d Pl ^1 ^ ~d^~ iV 2 dp n ly n — P \ X nh 



2) Au moyen des valeurs finies JV,, iV , . . . iV n qui vérifient les équations (3) on peut 



assigner un système de valeurs des paramètres p , p 2 , p n , avec lesquelles la fonction 



F(x), depuis x= — h jusqu'à x=-i-h, n'atteint ni la limite -i- L, ni la limite — L, et 

 par conséquent, reste comprise dans des limites plus étroites. 



