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en 



P, ~ ^> 'Pi—N^ Pn~ N n U - 



Comme il ne s'agit que du cas, où la fonction F(x) et ses dérivées par rapport à x,p t , p , 



p n restent finies et continues pour toutes les valeurs de x, comprises entre x — — h et 



x = -+- h (les seules valeurs de x que nous aurons à considérer), la fonction FJx), qu'on trouve 

 en changeant dans l'expression de F(x) les quantités 



Pi» Po P n 



en 



Pi — ^, W ' P2 — N 2 a Pn— N n U - 



peut être représentée ainsi 



(4) . . . . F„(.) = F® - [^hh^h- -h^,].-*** 



où H est une fonction de o et de x, qui ne devieut pas infinie pour w= 0. 



D'après cela il est aisé de montrer que, depuis x= — /1 jusqu'à x= -t-h, la valeur nu- 

 mérique de F[x) reste au-dessous de L, en supposant bien entendu, que la quantité L n'est pas 

 nulle, ou, ce qui revient au même, que la fonction F(x), entre x = — h et x = h, n'est 

 pas constamment égale à zéro. 



Pour s'en assurer nous remarquerons que d'après la formule (4) et en vertu des équations 

 (3), 011 trouve pour x — x, 



FJœ t ) = F{x t ) — F(^)o -+- o 2 i? = F(a; f )(1 — «) 4- 



et comme F(x ) d'après ( 1 ) se réduit a ± L, valeur différente de zéro, et que «, par notre sup- 

 position, est une quantité positive, infiniment petite, la valeur numérique de cette expression 

 de FJx.) est évidemment au-dessous de L. 



La même chose a lieu, si l'on donne à x une valeur dont la différence avec x ne surpasse 

 pas uue certaine limite finie. — En effet, d'après les équations (1) et (3), pour sb==x ', les 

 expressions 



dF(x) jy dF{x) jy ( dF(x ) ^ 7 



d Pl ' 1 dp 2 2 dp n n 



ont la même valeur ztL, autre que zéro, et en vertu de la continuité des fonctions qui com- 

 posent ces expressions, elles ne peuvent varier brusquement. D'où il suit que dans le voisinage 

 de x = x t ces expressions aur ont des valeurs différentes de zéro et de même signe. Mais tant 

 que cela a lieu, l'équation (4), où o est positif, infiniment petit, donne pour F 0 (x) une valeur 

 numériquement au-dessous de F(x), et par conséquent au dessous de L, qui est la limite des 

 valeurs de F(x) entre x= — h et x— 1 h. 



On reconnaît semblablement que la valeur numérique de F(x) reste inférieure à L, si x 

 est dans le voisinage de ces valeurs 



