Suit LES QUESTIONS DE MlMMA ETC. 



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11 reste à prouver que cela a lieu aussi pour toutes les autres valeurs de x, comprises 

 entre x = — h et x = -+- h. Or comme x , a>,, . . . .x^ soût les seules valeurs de x pour les- 

 quelles la fonction -F(x), entre x = — h et x = -+-k t atteint ses valeurs limites — A. et -+- L. 

 et que HJçty ue diffère de F{x) que par des termes infiniment petits, il est clair, que dans le 



cas, où x n'est pas dans le voisinage de x 2 , x^, les fonctions F 0 (x) et F.{x) ne 



peuvent s'approcher ensemble infiniment près de — l et de + L, et par conséquent, les 

 valeurs de FJx) seront comprises dans des limites plus étroites. 



Ainsi on parvient à reconnaître que, depuis x= — h jusqu'à x = h/i. la fonction F Q (x) 

 qu'on trouve en changeant dans la fonction F(x) les paramètres 



Pv P2 Pn 



en 



p t — A> ,p 2 — N 2 (d, p n — N n u, 



ne peut atteindre ni la limite -*- L, ni la limite — L, ce qui prouve la proposition, 



III. 



§ 9. Le théorème que nous venons de donner nous servira pour trouver les équations 

 qui détermiuent les valeurs des paramètres p v p 2 , .... ,p n avec lesquelles la fonction F(x) 

 s'écarte le moins de 0 entre x = — h et x — -+-h. On trouverait facilement ces équations, si 

 l'on connaissait d'avance le nombre p., qui désigne combien de fois, depuis x = — h jusqu'à 

 x = h, la fonction F[x), avec les paramètres cherchés, atteindra ses valeurs limites — L et 

 h-L; et l'incertitude qui plane ordinairement sur la valeur de p., produit la principale difficulté 

 des présentes questions de minima. Nous allons montrer maintenant comment on peut tou- 

 jours lever cette difficulté jusqu'à un certain point et même complètement dans plusieurs cas 

 spéciaux. 



Relativement au nombre p. il y a deux hypothèses à faire: 1) p. surpasse /(, nombre des 

 paramètres arbitraires de F(x), 2) p. ne surpasse pas /«.'Chacune de ces hypothèses, comme nous 

 verrons plus tard, peut avoir lieu; examinons les. 



§ 10. Le nombre p. surpasse n. Dans ce cas il n'est pas important de connaître la vraie 

 valeur de p.; car p. étant plus grand que n, la série 



contiendra au moins n -t- 1 valeurs diffère tes. et alors d'après le § 5 les équations 



F\x. = L 2 -, (x 2 — h 2 )F'(x) = 0 



doivent avoir au moins n +- 1 solutions communes, ce qui entraine 11 n— 1 équations entre 

 n -t- 1 quantités inconnues, savoir: n paramètres cherchés de F(x) et la quantité L qui désigne 

 de combien la fonction F(x) s'écartera de zéro entre les limites: x — — h, x = -t-h. Par la 

 résolution de ces équations on aura toutes ces inconuues, si toutefois on ne tombe pas sur des 



