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P. TCHÉBYC BEV. 



équations identiques, ce qui ne peut avoir lieu que dans des cas exceptionnels. Nous ne 

 nous arrêterons pas à présent à ces cas particuliers, car ils ne se rencontrent point dans la so- 

 lution des questions dont nous devrons nous occuper. 



Donc, si le nombre p. est plus grand que n, on se passera tout-à-fait des équations (2). 

 1) ailleurs il n'est pas difficile de remarquer que dans ce cas elles ne donnent rien ni par rap- 

 port à L, p v p 2 , . . . .p n , ni par rapport à x r x^ x^.; car p, étant plus grand que n. Se 



nombre des équations (2) est au-dessous de celui des inconnues X,., X 2 X n . 



§11. Le nombre p. ne surpasse pas n. Dans ce cas les équations (2), par l'élimination de 

 jt inconnues X , X X^, fournissent n — p. h- 1 équations entre n-t-p. quantités 



Pf'Pi P„' 



% , x , xv- . 



D autre part, en faisant dans les équations (1) 



OC | n tX/^ i ...... . JL^j_ « 



on trouve encore 2p. équations entre p r p 2 , p n , x , x,,, x^ et L. Donc, on aura 



en tout n -+- p. -+- 1 équations entre le même nombre d'inconnues 



P,» P> P«' x r x v V L ' 



Par la résolution de ces équations on parviendra à déterminer et la quantité L et les paramètres 

 cherchés p., p 2 , . . .p n de la fonction F(x). Mais, comme ces équations changent essentiellement 

 avec la valeur du nombre p., on ne pourra les résoudre, qu'en fixant d'avance la valeur de p., et 

 pour embrasser tous les cas possibles on examinera séparément ces u hypothèses: 



p. = 1, 2, 3, n, 



les seules possibles à cause de p. < n et p. > o. 



§12. Tant qu'on ne saura rien d'avance sur le nombre jx, on ne pourra pas connaître 

 les paramètres cherchés de F(x) , avec lesquels elle s'écarte le moins de zéro depuis x — — h 

 jusqu'à x = n— h , qu'en comparant entre elles les valeurs de L. trouvées dans les différentes 

 hypothèses sur p., savoir: p. >> n et p. — 1, 2, ... ./t. Remarquons que l'importance de l'exa- 

 men de d<ver* systèmes des paramètres entrant dans F(x) et du choix rie celui qui donne la 

 solution cherchée tient à la nature de notre problème: où l'on cherche le minimum minimorum 

 ée L, ce qui exige qu'on ait les valeurs de tous les minima possibles. Mais souvent on parvient 

 facilement à reconnaître que les équations (2), dans le cas de X,, X . . . . A u autres que 0, sont 

 impossibles pour certaines valeurs de p.; alors le nombre des hypothèses possibles sur la valeur 

 de p. diminue, et par là la solution de notre problème se simplifie notablement 



Un de ces cas, à la fois le plus intéressant et le plus fréquent, est celui, où d'après la na- 

 ture de la fonction F(x), les équations (2) entraînent 



