Sur les questions de Minima etc. (9) 209 



tant que p. ne surpasse pas n. Alors, suivant le théorème 1, on ne pourra réduire L à sa plus 

 petite valeur, sans faire ja ]> n, et, comme nous venons de le voir (cas de |x > n), la quantité L 

 et les paramètres cherchés de F(x) seront déterminés par la condition que les équations 



F 2 (x) — L 2 = 0 , {x 2 — tf)F'{x) = 0 , 



aient au moins n -h 1 solutions communes. Comme ces solutions sont 



X — — X . . OC X' , CC — — X r ,....*•.., 



1 ' 2 3 



nous concluons, en vertu de ce que nous avons vu dans le § 5 par rapport à ces quantités, que 

 les n + 1 solutions communes de nos équations seront nécessairement inégales et comprises 

 entre x = — h et x = -h h. 



IV. 



§ 13. Pour montrer le parti que Ton peut tirer de ce que nous avons établi ci-dessus, 

 nous allons examiner spécialement ces trois valeurs de F(x) : 



F(x) = p^X n ~' -*-p 2 X n ~ 2 -H— +? B _| I + P,| Y, 



p(%\ Pi xn '+y W 2 ~*~ + Pn — î^'+'Pw y 



A Q x -+- AyX -+- -+- A m — jd? -+- A m 



P(X] = Pl xTl ~ l ~ 1 +P2 xn ~ l ~ 2 ± ■ -t-Pn-l—iX-t-Pn-l _ y 



* ' P n —l-i-\X l -+-P n -l-f-2X l ~ l -+- + Pn x -+- 1 



où F est une fonction de x qui reste finie et continue, ainsi que ses dérivées, depuis x = — h 

 jusqu'à xz=-t-h. La solution de notre problème, pour ces trois valeurs de F(x), est d'autant plus 

 importante qu'elle se rattache évidemment à la représentation approximative des fonctions, soit 

 sous la forme d'un polynôme, soit sous la forme d'une fraction avec un dénominateur donné 

 ou arbitraire. 



Premier cas. 



F{x) = p/ l ~' -*-p 2 X n ~' 2 -f- -+-P n -l X -*-Pn— Y - 



§ 14. Dans ce cas on parvient facilement à reconnaître que les équations (2) supposent 



X, = 0, X 2 =0, >y=0, 



si [j. ne surpasse pas n. 



En effet, la différentiation de 



F[x) = p^x n - 1 — i— p 2 x n ~ 2 h— + Pn _ iX + Pn — Y 



par rapport à p v p 2 />„_,> P n nous donne 



dF{x) ^n— I dF(x) _ ^i— 2 dF{x) dF{x) ^ 



dPi ' dp 2 ' dp n _ ï ' dp n 



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