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Sur les questions de Minima etc. (il) 211 



s'écarte le moins possible de zéro depuis x = — h jusqu'à x = -+- h , les équations 



F\x) — Û = 0 , {x 2 — h 2 ) F\x) = 0 



ont au moins n-t- 1 solutions communes, différentes entre elles et comprises entre x— — h et 

 x — -*-h. La quantité L désigne la limite des écarts de F(x) de zéro entre x= — h et x=-t-h. 



Deuxième cas. 



ni \ PjX n ~ -+- -i-Pn—iV+Pn y 



r W — a^-a-A^-^ + A m _ lX +A m 



§ 1 5. En cherchant à résoudre notre problème pour cette valeur de F[x), on pourra bien 

 se borner au cas, où le dénominateur de la fraction 



p y x n — 1 -A-p z x n ~ i -¥- + Pn-i«+Pn 



A 0 x m -+- A l x m ~ 1 -t- -+- A m -+- A 



m 



ne s'évanouit pas entre x — — h et x = -+- h. En effet, d'après la nature du problème, la 

 fraction cherchée doit être nécessairement l'une de celles qui ne cessent d'être finies depuis 

 x= — h jusqu'à x — -\-h. Par conséquent, si son dénominateur 



\ X m -+- A m-l X -+- A m 



contenait des facteurs s'annulant entre x= — h et x = -t- /i, son numérateur 



p/ 1-1 -t-p 2 x n ~ 2 -+- -+- p n _ x x -+- p n 



devrait être divisible par tous ces facteurs. En vertu de quoi la fraction cherchée serait réduc- 

 tible à la forme plus simple, où le dénominateur est la fonction A 0 x m h- A ] x m ~ 'h- 



-+- A m _^x -h— A m , dépourvue de tous ses facteurs susceptibles de s'annuler entre x = — h et 

 x = —h h, et le numérateur une fonction de la même forme que 



-H p 2 X n ~ 2 H-P n _ ^H-P n , 



mais de degré inférieur an — 1 d'autant d'unités qu'on trouve dans la fonction 



de facteurs linéaires qui s'évanouissent entre x= — h et x= -t-h. — Ainsi notre problème 

 sur la valeur de 



p/ x \ — PiX n — 1 -t-p 2 x n - i -t- -i-Pn—iX+Pn y 



* l A 0 x m ■+■ A v x m ~ l -+- — t- A m _ 1 x -+- A m 



se réduit toujours au cas, où le dénominateur ne s'annule point entre les limites x= — h et 

 x = -+- h. — C'est de ce cas que nous nous occuperons maintenant. 



Comme F, par hypothèse, est une fonction qui reste finie et continue, ainsi que ses déri- 

 vées entre x — — h et x = -+-h, et que le dénominateur de la fraction 



p^x n — 1 -*-p 2 X n — 2 -+- -*-Pn — l x -*-Pn 



* 



