Sur les questions de Minima etc. 



(13) 213 



Théorème 3. 



Les quantités p x , p 0 ,. . p n étant choisies de manière à ce que la fonction 



F(ri Pix n ~ 1 -*- p 2 x n —*-t- -+- Pw-i^ Pn V 



r W — ^m-i-H + V,« + ' 



depuis x— — h jusqu'à x — -+- h, s'écarte le moins de zéro, les équations 



F\x) — L 2 = 0, {x 2 — h 2 ) F\x) = 0 



ont au moins n-i-\ solutions communes, différentes entre elles et comprises entre x= — h et x = h. 

 La quantité L est la limite des valeurs de F(x) entre x = — h et x — -+-h. 



Troisième cas. 



p/ x \ _ PiX n — l — l -t-p z x n — l —^-t- -+~p n —i— l x-t-p n _ l y 



p n —ix l _^y+-p n _i^_zx l — l -+- -t-p n x-t-l 



§16. On peut toujours supposer que la fraction 



p y x n — 1 ~ x -i- p 2 x n — 1 ~ 2 -h -t-p w _;_ l a; -+- p n ^i 



Pn—l-+-i xt -*-Pn—l—2 xl ~ l '+- -+-Pn x 1 



est réduite à sa forme la plus simple. Dans cette supposition, et en remarquant que la fraction 

 qui résout notre problème de minimum ne cessera d'être ûnie entre x= — h et x = -+- h, on 

 conclut que son dénominateur restera différent de zéro entre ces limites, et dans ce cas ni 

 la fonction 



fÇri _ _ Pia w — ^-t- ff 2 x w - ? -2-t- -+-p n _i_ x x+p n _i y 



P n —l-^iX l -+- p n _i^.. z x 1 —^ -i-p n x-t-l 



ni ses dérivées par rapport à x, p^, p 2 , P n —\* Pn" ne P euvent devenir infinies ou discon- 

 tinues pour les valeurs de x que nous aurons à considérer. Donc, le théorème du § 6 sera ap- 

 plicable aussi à celte valeur de F{x). 



Pour tirer de ce théorème les équations relatives à p , p 2 , Pn— n Pn' ^? nous com " 



mencerons par chercher les valeurs de 



dF{x) dF{x) dF{x) dF{x) 



dPi ' dP 2 ' d Pn—i ' d Pn ' 



D'après l'expression de F(x), et en faisant pour abréger 



Pn-l^+Pn-l-*-/'*-*- -+-Pn X + 1=?(^' 



nous trouvons 



dF(x) x n — dF{x) x n ~ 1 — 2 dF(x) x df[x) 1 



d Pl " <ç{x) ' dp 2 " (f>(x) ' dp n _ i_ % cp(.r)' dp n _ ; 

 dF{x) __ x l <])(x) dF(x)^ x l — l ty(x) dF{x) x^jx) dF(x) __ gjjaj 



