Sur les questions de Minima etc. (18) 2 1 5 



dans la valeur de <P(x) 



— x^x^CjX 1 -+- -+■ C 2 x C 2 ~J 



on pouvait faire 



<P(x) = (x — x 2 ) (x — arj . . . (a? — ag == — -§- a\> -t- . . . -t-xjx*- 2 ■+- . . . , 

 = — a?,)(* — * 3 ). • .(*— J5 p ) = a^~' — («, + ^+. . .-h^)^ _2 -h. . ., 



= {x — *J(a — a? a ) . . . (* — aj^J = a^ -1 — (i, -+- x 2 -+- ...-+- Jas" 1 "" 



D'après cela, pour prouver que les équations (2), dans le cas de y. < n et X,, X 2 ,. . . .V autres 

 que 0, entraînent les équations (5), il suffit de montrer que la formule 



' # n _,_ 2 * n -'- 2 H- H- B,X H- flj 



— ^(^[c^ -1 — i— C t _ t x l ~ 2 -+- h- C 2 a; H- cj 



peut représenter toutes les valeurs de <P(x) mentionnées plus haut, si les équations (5) ne sont 

 pas satisfaites. C'est ce que nous allons faire. 



Comme la fraction 



Mx) __ P l x n ~ l — i -^p 2 x n — l —' 1 -t- +p n _i_ l x+p n _ l 



<P(a) Pn-i^x^Pn^^x 1 —^ -+-p n x-+-\ 



est irréductible, et que son dénominateur 



n'est pas divisible par x, il en résulte que les fonctions cp(aj) et x<\>(x) sont premières entre elles, 

 et par conséquent, qu'on peut trouver des fonctions M et N satisfaisant à cette équation: 



f[x)M — x<\>(x)N = 1 . 



D'où nous tirons 



(px = ^x^y(x)M — x^(x)N~\ 



= y(xf®(x)M — xty(x)Q~] — xty(xf<$(x)N — ${x)Q~) , 



Q étant une fonction quelconque. De cette expression de Q(x) on conclut qu'elle est représentée 

 par la formule 



^[B^x- 1 -^ B n _,_ 2 *"-'- 2 h- h- B^B Q ] 



— X^xj^CjX 1 -' H— C Z _ 1 ^ _2 H- H— C 2 X-t-e^, 



si toutefois le choix convenable de Q abaisse les degrés des fonctions 



<P(x)M — xty{x)Q, <P(x)N — 9(a?) Q 



