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P. TCHÉBYCHEV. 



respectivement au-dessous de n — /, /. Or, comme nous le verrons tout à l'heure, on y par- 

 vient toujours dans le cas où les équations 



p t = 0, p 2 =0 Pd^® 



ne sont pas satisfaites, en prenant pour Q le quotient de la division de <ï>(x)M par xty(x). 

 En effet, pour cette valeur de Q la fonction 



9[x)M — xty{x)Q 



se réduit à R, R étant le reste de la division de <&(x)M par xty[x), et par conséquent, elle est 

 de degré inférieur à celui de xty(x) ou x n ~ 1 . 



En passant à la valeur de 



<&{x)N — y(x)Q, 



nous remarquerons que les équations 



q>(x)Jf — xty(x)N = 1, <P(x)M — xty(x)Q = R 



donnent 



1 -+- x<\>{x)N q <P{x)M — R 



cp(aî) x<\>{x) 



I) où résulte cette expression de Q: 



-~ ${x) -+- xty{x)${x)N— R<p{x) 



" x<]>(x)y(x) ' 



et par là 



Wx)N- 9 lx)Q=<ï>(x)N- ^(*) 

 D'après cette valeur de 



9(a>)tf — <p{x)Q 



on reconnaît aisément que son degré sera inférieur à /, tant que les équations 



Pi = ° 5 ^=0, p ([ = 0 



ne seront pas satisfaites, ou, ce qui revient au même, tant que le degré de la fonction 

 «|>(a>) = Pi x n - 1 -*-*- p 2 x n ~ 1 - 2 -*- h- j»„_,_ M a; -+- p n _ ( 



surpassera » — l — d — 1 , ou p. — / — 2, d étant égal à « h- 1 — p. Pour s'en assurer, on 

 remarquera que dans ce cas, la fonction <P(x) étant seulement de degré \l — 1, le terme 

 sera de degré inférieur à p. — 1 — (p. — / — 1) = /. Quant à l'autre terme de la valeur de 



il est aussi de degré inférieur à l, car R, comme nous l'avons vu, est de degré inférieur à celui 

 de xty(x), et la fonction 



ne peut pas être de degré plus élevé que /. 



