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P. TCHÉBYCHEV. 



Comme chaque racine commune aux deux équations entraine une relation particulière 

 filtre leurs coeflicients, il est clair que par ce théorème on obtiendra « + 1 — d équations 

 entre les quantités 



Pi' : P*> ••; Pn< L < 



que les fonctions F 2 (x) — L 2 , (x 2 — h 2 )F (x) contiennent, et comme on a, en même temps, 



Pi = p. P 2 = 0 Pd = °; 



P»-J-M = °. Pn_i-H2 = °< Pn-l+d = °> 

 on aura en définitive n -+- d -+- 1 équations entre les n-f-1 quantités cherchées: p r p 2 ,...p n , L. 

 D'où il suit, que sauf le cas de d = 0, ces équations ne sauront être satisfaites à moins que les 

 données du problème elles mêmes ne vérifient certaines conditions, ce qui nous porte à conclure 

 que le nombre d ne cesse d'être égal à 0, que dans des cas exceptionnels où les quantités 

 comprises dans la fonction Y avec la valeur donnée de h vérifient certaines équations. 

 Abstraction faite de ces cas, on aura 



d = 0, 



et alors, suivant le théorème démontré, le nombre des diverses solutions communes aux deux 



équations „ „ _ . 



4 F\x) — L 2 = 0, ( x 2 —h 2 )F{x) = 0 



et comprises entre x = — h et x = -t-h sera au moins égal à n-H l, comme cela a lieu tou- 

 jours pour les deux autres valeurs de F(x) déjà considérées. 



V. 



§ 17. Pour montrer l'application des théorèmes relatifs aux trois valeurs particulières de 

 F{x), nous chercherons la solution de ces trois problèmes: 



1) Quelle est la fonction entière qui, parmi toutes celles de la (orme x n -+- p^x n ~^ -+- 



p.,x n ~ 2 -+- ~*~Pn- - >i x ~*~ Pn' sèça/rU le moins possible de zéro entre les limites x= — h 



et x — -+- h? 



2) Quelle est la fraction qui, parmi celles de la forme 



X H -t- p'x n 1 -+-p"x n 2 H- -+- p (W l Jx -+-p* W * 



A 0 x n — l — l -+-A l x n — l — 2 -+- -+- A n _i_ 2 x -f- A n _ l _ l 



et avec le même dénominateur A„x n ~ l ~ l -i- A ,x n ~ l ~ 2 -v- . . . .-4-Â„ , jx -+- A„ , , s'écarte 

 le moins possible de zéro entre les limites x = — h et x = -t? h? 



3) Quelle est la fraction qui, parmi toutes les autres de la forme 



p ' x n—l-+-\ + p " x n—l—2_t_ + p ' n—l—i) x _^pin—l) 



p(n—l-t-i) x l l-t-2) x l— ICI -+-p( n) x -t-p(n-t-i) "> 



entre x — — h et x = -+- h, s'écarte le moins possible d'un polynôme donné x n ~ l -+- Ax"'~ /—1 

 — t- Bx n ~ l ~ 2 -+- ? 



