Sur les questions de Minima etc. 



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§ 18. Tous ces problèmes ne sont, évidemment, que des cas particuliers de ceux, dont 

 nous nous sommes occupé dans les 14, 15, 16, et d'après les trois théorèmes démontrés ci- 

 dessus on parvient facilement aux équations qui déterminent leurs solutions. Mais en passant 

 à la recherche des résultats définitifs, on reconnaît tout de suite que les équations déterminant 

 les quantités cherchées 



H /V P 3 Pn-vPn 



ne peuvent être résolues à l'aide des méthodes connues d'Algèbre, si ce n'est quand le nombre 

 de ces quantités est très limité; car ces équations étant de forme très compliquée, leur résolu- 

 tion, dans le cas de plusieurs inconnues, demande des calculs tout-à-fait impraticables. Donc, 

 si l'on cherchait à résoudre nos problèmes au moyen de ces équations, on ne saurait aller au- 

 delà d'un petit nombre de cas particuliers qui, pris isolément, ne présentent pas beaucoup 

 d'intérêt. — Nous montrerons dans les paragraphes suivants qu'on peut donner la solution 

 générale de nos problèmes, eu les réduisant aux questions d'Analyse indéterminée. 



Nous parviendrons à opérer cette réduction, en observant qu'en vertu des théorèmes dé- 

 montrés plus haut, la solution de ces problèmes est caractérisée par une propriété très simple, 

 dont jouit un système de deux équations, composées des fonctions cherchées, et dont l'expres- 

 sion analytique, comme on verra, fournit des équations indéterminées de second degré entre les 

 polynômes cherchés contenus dans les fonctions et certains autres polynômes qui jouent le 

 rôle d'inconnues auxiliaires. C'est à 1 aide de ces équations indéterminées que nous obtenons la 

 solution définitive de nos problèmes, solution qu'on ne pouvait trouver à l'aide des méthodes 

 ordinaires d'Algèbre. 



§ 1 9. La même méthode peut être avantageusement employée dans plusieurs autres cas 

 et eutr'autres, dans les recherches générales sur la représentation approximative des fonctions, 

 soit sous la forme d'un polynôme, soit sous la forme d'une fraction quelconque, où elle donne 

 la solution du problème mentionné dans le § 4. C'est ce que nous nous proposons de faire 

 dans un autre Mémoire, où l'on verra combien la solution des problèmes particuliers, que nous 

 donnerons à présent, est importante pour les recherches générales sur la représentation approxi- 

 mative des fonctions sous une forme rationnelle assignée. 



Sur la fonction qui, parmi celles sic la forme 



n n — 1 n — 2 



x +,p % x -+-p 2 oc -+- -+-p n _^+ p ^ 



s'écarte le moins possible de zéro entre les limites x — — h et x — -+- h. 



VI. 



§ 20. Comme la fonction 



X n -+- P] X n ~* + P 2 X n ~ 2 r4- ~*-P n -, X ^Pn 



n'est que la valeur de 



Pi x n ~' n- p,.r n_2 -+- +p n _ t x + p n —Y 



