Sur les questions de Minima etc. (21) 221 



n'élant que de degré 2» H- 2, le quotient de la division de cette expression par le produit 



ne peut être qu'une constante. — Donc 



(x 2 —-tf){F 2 {x) — L 2 ) = C{x — xf{x — xfix — xf (x — xj. 



Cette équation n'aura lieu, évidemment, que si x -+- h et x — h sont au nombre des facteurs 



Or si l'on suppose 



<yi -y» rfi rut ryt nrt 



— Oj , *Aj *Aj ^ , O/ O,^ 9 



cette équation, divisée par (x-*-h)(x — h) = x 2 — h 2 , devient 



F\x) — L 2 = C{x 2 — h 2 ) {x — x 2 f {x — xj, 



ou 



(7) F\x) — L 2 = (x 2 — li 2 )<P 2 {x), 



en dénotant par <&[x) la fonction entière 



VC(x — x 2 ) {as — x n ). 



C'est d'après cette équation que nous trouverons ta fonction F(x) qui, parmi celles de la forme 



x n -\-p^x n ~ 1 -t-p 2 x n ~ 2 -+- ~*~P n —\ x ~~*~P n -> s'écarte le moins possible de zéro entre 



x = — h et x = -+- /i. La quantité L, comme nous le savons, détermine la plus grande valeur 

 de cette fonction pour x comprise entre les limites x = — h et x — -+- /ï. 



§ 21 . Pour trouver la fonction d'après l'équation (7), remarquons qu'elle donne 



^F(x) — <P(x)Vx* — h*j^F(x) -+- tp(.r)yP~/i 2 ] = L 2 , 



et par là 



— <P(a;)Va; 2 — fc 2 = 



F(a;) -h <&(x)Vx 2 —h 2 

 D'où nous tirons 



$(œ)[F(aj) ■+• $(a;)'v'iB 2 — A 2 ] ' 



ce qui prouve que la fraction est la valeur de Vx 2 — /( exacte jusqu'aux termes de l'ordre 

 inclusivement. Mais ceci ne peut avoir lieu, que si est l'une des fractions conver- 

 gentes de Vx 2 — h 2 , que l'on trouve par son développement en fraction continue. — De plus, 

 comme les fonctions F{x), <P(ar), en vertu de l'équatiou (7), sont nécessairement premières 



entre elles, et que F(x) = x n ~t-px n ~ 1 -t- j9 9 ^ n "~ 2 -H -*-p n _\ x V n - '1 est c ' a i r M ,le 



est celle des fractions convergentes de Vx 2 — h 2 dont le numérateur est de degré n, et 

 que ses parties, à un facteur constant près, sont égales à F(x) et <P x). Donc ou aura 



