SDR LES QUESTIONS DE MlNIMA ETC. 



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D'après cette valeur de L, et en remarquant que notre fonction F(x) est celle qui, parmi toutes 

 les autres de la forme 



x -t-pp -+-p 2 x -+-P n _,#-*-/> n , 



s'écarte le inoins de zéro entre x = — h et x = -t- /t, nous parvenons à ce théorème : 



Théorème 5. 



La valeur numérique de la fonction x n -\-p^x n ~ 1 -+- "^-Pn' en ' re aj = — '* et 



x=-t-h, ne peut rester inférieure à • 



§24. De ce théorème se déduisent plusieurs autres; nous en indiquerons quelques-uns. 



Théorème 6. 



5» la fonction f{x) est de la forme x n -\-p,x n ~ x -+- H_ P W ' e ' < l m ^ a différence entre 



deux valeurs f[a — h), f(a-t-h) soit inférieure à 4( » la première dérivée de f(x) change de siyne 

 entre x = a — h et x = a-\-h. 



Pour le démontrer supposons le contraire, savoir, que f\x) ne change pas de signe entre 

 x = a — h et x — a -+-h. Dans cette supposition, la fonction 



f(a -4- x) ■ 



f{a-+-k) -+- f[a— h) 



depuis x= — h jusqu'à x = -t-h, ne pourrait être que constamment croissante ou décroissante, 

 et par conséquent, resterait comprise entre ses deux valeurs limites 



.\ f(a-t-f>) -t- f{a— h) _ fja— h) — fja-t-h) 

 l\ a 11 > " — 9 ' 



f(a-+-h) 



2 2 

 fia-t-h) -t- fia— h) _ fia— h) — f(a-¥-h) 



2 2 



D'où il suit que sa valeur numérique, depuis x = — h jusqu'à x — -+-h, ne surpasserait pas 

 celle de ^) — et p ar cons éq Ue nt, serait inférieure à 2^ , cette valeur, d'après l'énoncé 

 du théorème, étant numériquement plus grande que 



fia— h) — fia-+-h) 

 2 * 



Mais comme la fonction 



f(a-t-x) — 



est de la forme 



fia-t-h) -+- fia — h) 



X n -t-p^X n H- +p n _p-+-p n , 



ceci ne peut avoir lieu en vertu du théorêma 5, ce qui prouve le théorème énoncé. 



Mém. se. math, et yhys. T. Yll- 29 



