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T II é o r è m e 9. 



Si la valeur numérique de l'intégrale 



f^{x n ~ x -+- Ax n ~ 2 -+- -+- K)dx 



est inférieure à - ( — r — -) , on trouvera au moins une racine de l'équation 



x n -*-+-Ax n - 2 -*- -+- K = 0 



entre x= H 0 et x,= H. 



Pour le prouver, nous remarquerons qu'en faisant 



n£V _1 Ax n ~ 2 -+- — i— K)dx = f(x), 



H 0 =a — h, 

 H = a-h-h, 



on trouve 



f{a-t-h) — f{a—h) = nf"{x n - l +Ax n - 2 -*- h- K)dx 



4 } ~ \2) ' 



et comme, suivant le théorème, l'intégrale définie 



f"{x n ~>-i- Ax n ~ 2 -t- -+- K)dx 



est numériquement inférieure à * > ^ en résulte que la valeur numérique de f(a-+-h) 



— f(a — h) est au-dessous de 4(^j • D'où, en remarquant que 



f(x) = n f*{x n -'-+- Ax n ~*-4- -+- K)dx 



est une fonction de la forme 



X n -*-p i X n ~ i -+- -H|> n , 



nous concluons du théorème précédent que l'équation 



f\x) = n{x n 1 — i— Ax n ~ 2 -i- -+- K) = 0 



doit avoir au moins une racine comprise entre a — h = Il 0 , a-i~h = H, ce qu'il s'agissait 

 de prouver. 



