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Donc, il est certain que dans ces limites au moins l'une des fondions f(x), f'(x) cesse d'être 



positive. 



t \ in 



Comme notre théorème devient évident, si f(x) change de signe entre x = t — 4k 

 x = t, nous n'avons qu'à examiner le cas où, dans ces limites, la fonction f[x) demeure posi- 

 tive et où f\x) change de signe. 



Puisque f (t) est positive, il est clair que dans le cas où f (x) change de signe entre 



2n 



x = t — et x=t, elle doit passer du négatif au positif. Mais ce changement de signe 



fera disparaître deux variations de signes dans la suite 



f( X ), f{x)i f», r~ 1 H f {n x*y> 



In 



car, par hypothèse, f(x) est posiive depuis x = t — ^V^g jusqu'à x = t, et f"(x) ne saurait 

 être négative, quand la fonction f (x) passe du négatif au positif, ce qui prouve notre théorème. 

 Dans le cas particulier où l'équation 



f(x) = 0 



n'a que des racines réelles, le théorème que nous venons d'établir entraîne celui-ci: 



Théorème 9. 



Si l'équation 



f(x) = x n -+- Ax n ~'-+- -i A = 0 



n'a que des racines réelles, quelle que soit la valeur de t, on trouvera toujours l'une de ses racines 



In 



entre x — letx — t — 4r en prenant le radical avec le signe contraire à celui de jM. 



16 / (f) 



Théorème ÎO. 



Si l'équation x 2 ~*~ l -+- Ax 2l ~ 1 -+- -+- Jx -t- K— 0 ne contient que des puissances 



impaires de x, entre les limites — ^V~K, -\-^\.K on trouvera au moins une de ses racines. 



En effet, si l'équation 



x 



2i-M 



-+- Ax 2l ~ x -+- -+-Jx-t-K=0 



n'avait point de racines entre 



2?-t-l 2l-t-l 



