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P. TCHÉBYCHEV. 



et que ces équations, multipliées entre elles, donnent 



Ax 21 -' -+- -+- Jxf - ( A — A> 2X ) 2 = 0, 



nous concluons, comme dans la démonstration précédente, que cette équation n'aurait poiot de 

 racines entre 



x = — V/\K, x= + <ïV\k, 



si aucune des racines de l'équation 



a^w -+- Ax 2l ~ 1 -+- -+- Jx -+- A — A> 2X = 0 



n'était comprise dans ces limites, et par là que la valeur numérique de la fooctioo 



2l-t-i a il — 1 i 

 X -+-AX -+- -+- JX, 



depuis x — — tV^K jusqu'à x = -+- %v\ A, resterait au-dessous de celle de A — ^ 0 ^ 2X - 

 Or cela est évidemment impossible, si l'expression A — Kjxs 2 s'annule dans ces limites, la 

 valeur numérique n'étant jamais au-dessous de zéro. — Mais cela ne peut avoir lieu non plus, 

 si dans ces limites l'expression A — K' 0 x ne s'annule pas; car dans ce cas, K Q et A étant de 

 même signe, la valeur numérique de K — Kx reste au dessous de celle de A\ et d'après ce 

 que nous venons de voir dans la démonstration du théorème précédent, la fonction 



x -+- Ax -+- -+- Jx, 



dans les limites 



ne peut rester numériquement au-dessous de A, et, à plus forte raison, d'une valeur numéri- 

 quement plus petite, ce qui prouve notre théorème. 



VIII. 



§ 25. Les théorèmes que nous avons donnés et plusieurs autres de la même espèce, ne 

 sont pas les seuls résultats qu'on puisse tirer de la valeur de la fonction entière qui, parmi 

 celles de même forme, s'écarte le moins possible de zéro entre les limites données. Nous allons 

 montrer maintenant le parti que l'on peut en tirer par rapport à l'interpolation. 



Soit f[x) l'expression exacte des valeurs que l'on cherche à représenter approximative- 

 ment par la fonction entière 



i+g^C/ n- -+- Hx n ' 



