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Sur les questions dk Minima etc. (37) 237 



pour x = x., le premier terme sevanouit, et le second, par la substitution de Vx par — , devient 



2{x z —h z )V /dD (J dv \ 



v \ dx dx ) ' 



ce qui sera 0 d'après l'équation 



dU rl dv 



v 7i Uzr 



i 2 1 2\ dx dx A 



[ X — h ) ^2 = 0 ' 



dont x = x est une racine. 



Mais tant que x—x^ vérifie les deux équations 



(x 2 —h 2 ){U 2 —L 2 v 2 ) = 0 

 d{x z — hï){ir~ — i 2 ^ 2 



la fonction 



a nécessairement pour facteur (x — xj 2 . 



De ce que nous venons de montrer par rapport à la solution commune aux deux équations 



F 2 (x) — L 2 = 0, (x 2 — li 2 )F\x) = 0, 



il résulte que la propriété de la fraction cherchée - = F{x), énoncée plus haut, suppose que 

 la fonction 



(a? -r-h 2 )(U 2 — LV) 



est divisible p3r les n -+- 1 facteurs 



(x — xj 2 , (x — x^ 2 , (x — x 2 f, (x — xj 2 , 



i 



où x , x % , x 2 x n sont des valeurs inégales et comprises entre x = — h et x — -+-h. 



D'où il suit que cette fraction est divisible par le produit 



(x — x 0 f(x — xtf{x — x 2 ) 2 (x — xj, 



et que ce diviseur n'a point de facteurs communs avec v; car la fonction e, par la supposition. 



ne s'annule pas entre x= — h et x= -4-/1, et x Q , x , x 2 , x n sont comprises dans 



ces limites. 



Mais comme les fonctions V et v sont respectivement de degré n et n — / — 1, le degré 

 de [x 2 — h 2 )(U 2 — L 2 v 2 ) ne peut surpasser calui du produit 



(x — x Q ) 2 {x — xf(x — x 2 f [x — xj 2 



et par là le quotient de la division de 



( x 2 — h 2 )(U 2 — LV) 



