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Dans le cas où le dénominateur A 0 x n ~ l ~ A A x n ~ l ~ 2 -+- -+- A n _ ( _ 2 x -+- 1 ne 



contient que des facteurs réels, le nombre jx se réduit à zéro, et le théorème précédent se 

 change en cet autre : 



Théorème 11. 



Si la fraction 



x n -t-p'x n ~ l -t- H-p< n— l) X -t-pW 



A 0 x n — 1 ~ 1 -+-A l x n — '— 2 -t- + 4 n _(_ 2 ae + l 



don* /e dénominateur est composé de facteurs linéaires réels, ne devient jj en/re a?== — // et x==-t~h, 



(h\ n 

 2/ * 



§ 40. D'après ces théorèmes on démontre plusieurs propositions très simples par rapport 

 à la résolution des équations. En voici quelques-unes: 



Théorème 15. 



Si l'équation Ax 2X -+- Cx 2X ~ 2 ~t-- -*-flx 2 -t-K=0 a ji. racines imaginaires et que 



leurs modules ne soient pas inférieurs à p , on trouve au moins une racine de l'équation 



-h Ax 2X -+- Bx 2X ~* -+- Cx A ~ 2 -+- -+- Hx 2 -+- 7* H- # = 0 



cw<re # = — h et x — ~t-h t tant que la valeur numérique de K ne surpasse pas 2(^1 ( 2p-t-ft ) • 

 En effet, si l'équation 



^x-h. f . ^ Bx ïk-x Cx*- 2 -*- — i— Hx 2 -+- Jx -t- J5l == 0 



n'avait point de solutions entre x= — h et x=-i-h, la même chose aurait lieu par rapport 

 à celle-ci: 



x *+* _ Ax 2X —t- Bx 2X ~' — Cx 2X -+- — Hx 2 -t-Jx — K=0, 



qu'on trouve en changeant a; en — x dans l'équation 



a^r 1 -+- ^ 2X H— Bx 2X ~ 1 -*- ^ 2X ~ 2 -h + Ux 2 Jx + k=0, 



et par là il faudrait conclure que, dans les limites x — — h et x = -+- h , on ne peut satisfaire 

 à cette équation 



2X-+-1 . » 2X— 1 , » \2 /i„2X . /i„2X — 2 . tr 2 . v \1 



X 



Bx -t- . . . . -t- — (Ax iK — i— Ça^ 2 -+- .... — t- //a? — t— a:) 2 = 0, 



obtenue en multipliant entre elles les deux équations précédentes. Or cela est inadmissible, 

 comme nous allons le montrer. 



Cette équation a évidemment une solution entre x= — h et x— -+- h, si dans ces limites 

 les deux fonctions 



x 2X ^ -t- Bx 2X ~' -*-Jx, 



Ax 2X -+- Cx 2X ~ 2 -+- + Hx 2 -i-K 



