Sur les questions de Minima etc. 



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s annulent ensemble. Dans le cas contraire la fraction 



.J.2X-H1 g x 2k— 1 4. _+.J x 



A ,,\ B \ 27 ' 



a^A _|_ x zk— 1 -+- — a; 2 -h 1 



li h H 



entre * = — h et x = -t- h, ne devient pas jj, et alors, d'après le théorème 13, sa valeur nu- 

 mérique ne peut rester au-dessous de 2^ {w+hf'' et P ar cons équent au-dessous de la va- 

 leur numérique de K, cette valeur étant, par hypothèse, tout au plus égale à 2(-j (2" Ih* 

 Mais en mettant l'équation 



(^-'h_ B^-h-. . . J x ) 2 — (Ax* + Cx 2A ~ 2 -*-. . . . -t-Hx 2 -t- Kf=0 

 sous la forme 



.^X-f-l Bx 2\ — l -H J# \ 2 Q 



-a; 2 ^-»- ?a; 2A 1 -t- -+- — x 2 -+- 1 



K H S 



on s'assure aisément qu'elle a au moins une racine entre x = — h et x= -t-h, tant que la 

 fraction 



x 2\-t-l Bx 2 *— 1 -t- -*-Jx 



A „\ C \ B 



— # 2A -t- 2 -+- -t- 1 



qui s'annule pour x= 0, ne reste pas dans ces limites numériquement au-dessous de K, ce qui 

 prouve le théorème énoncé. 



A l'aide de ce théorème on trouvera toujours les limites — h et h où l'équation 



x 2 ^ -+- Ax 2X -+- Bx 2X ~ ' h- Gr 2X ~ 2 -1- + Hx 2 + Jx-i-K=0 



a au moins une racine, en prenant pour h une valeur positive qui remplisse la condition 



Or si l'équation 



-t- Cx 2X ~ 2 -+- -+.Hx 2 -+-K=0 



n'a que des racines réelles, le nombre u, se réduit à zéro, et alors cette condition devient 



4, 



V2 



5* 



OU 



4X -1 -2 



ce qu'on vérifiera en prenant pour /i celle des deux valeurs -+-2V^A r , — ^V^Â qui est posi- 

 tive. D'où résulte le théorème suivant: 



