Sur les questions de Mi. m ma etc. 



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XIII. 



Sur la fraction qui, parmi toutes les autres de la forme 



p{n— l-t-i) x l_^ p (n— 1+2^1— -i-p(«'a;H-p(«-«-i)' 



entre x = — /f et a; = -+- s'écarte le moins d'un polynôme donné 



x n ~ l -+- ^^ n - z - ' -+- Bx^~ l ~ 2 — I— 



§ 42. Il est clair que cette fraction ne doit pas devenir infinie pour x = 0 et cela sup- 

 pose que, dans sou expression 



p'x n ' l -t-p'x n ' 2 -+- -f-p m ' 1, a"-+-p' w 



p(n-^H) ;t l + p(n-l+2 ;1 ,(-i + +p(n" oc ^_ p {n-i-\)' 1 



le terme p (n+1) ne se réduit pas à zéro. Mais tant que jî (WH_l) n'est pas zéro, cette fonction peut 

 être évidemment mise sous la forme 



p x x n ~ l ~ x H-p 2 a? w — 1 ~ 2 -4-. , -+-p n —i— x x-t-p n _ l 



Pn—l^-^-t-p^i^x 1 — 1 -+- -i~P n x -h 1 



en dénotant 



p' p " p(n—l—\) p(n—l) "p{n— Z-m.) p (n) 



p(n-w)' p(n-i-i)' ' p(n-^-l) , p(n-f-i) »•'** 



par 



2V Pn—l—V V n —V Pn—l+\ 2V 



C'est sous cette forme que nous chercherons la fraction dont il s'agit. 

 En désignant par F(x) la différence du polynôme donné 



rJ 1 — l . A„ n — ' — 1 . n n — l — 2 



X I AX ~i DX 



et de la fraction cherchée 



\ 



p x X U — 1 ~ l -t-poX n — 1 ~ 2 -t- -Hp n _;_ 1 3!-f-p w _j 



Pn—te-ixt-i-Pn—l-t-iX 1 — 1 -*-. . -+-p„x-i-i 



nous concluons du théorème 4 (§ 16), que le nombre des solutions communes aux deux 

 équations 



F 2 {x) — L 2 = 0 , {x 2 — h 2 ) F\x) = 0 

 et différentes elles ne peut s'abaisser jusqu'à n-t-i — d, à moins que la fraction cherchée 



" /_2 -+- -t-Pn—l-i^^Pn-l 



Pn—l^x 1 -t-Pn^i^sB 1 — 1 -+- +P„* + 1 



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