Sur les questions dê Minima etc. (69) 259 



Mais cette équation ne peut avoir lieu, évidemment, à moins qu'on ne trouve x — h et x-wh 

 parmi les facteurs 



a ' 1' 2'* " * * M d' 



et si nous supposons, pour fixer les idées, qu'on ait 



x — x Q = x — k, x — x^ = x -t- h , 



elle devient 



_ /> 2 )[( M F — Vf — L 2 F 2 ] = C(x — hf{x -+- fc) 2 (ar — a? 2 ) 2 (x — 



et par là 



(tt K — Vf — L 2 P /2 = C(x 2 — h 2 ){x — x 2 f {x — x n _ d f. 



D'où nous tirons l'équation 



(18) . . [uV— Vf — L 2 F 2 = W % {x 2 —h\ 



eu désignant par JjF la fonction entière 



VC{x—x 2 ) {x— x n _ d ). 



Comme les fonctions V et V sont de la forme 



leurs degrés ne surpasseront pas n — / — d-t-i, l — d. De plus, on voit facilement que le de- 

 gré de V ne peut être au-dessous de / — d; car autrement la fonction 



(uV—Vf—ÛV 2 



serait de degré inférieur à 2(h — d), et par conséquent l'équation (18) où 



W 2 {x 2 — h 2 ) = C(x — x 0 f [x — x n _ d f(x* — h 2 ) 



ne pourrait avoir lieu. Donc, la fonction V sera nécessairement du degré / — d. 



§ 44. Conformément à ce que nous avons dit dans le § 16, la fraction 



V __ p d + l x n — l — d — 1 -t- -+-p n —i^ x x-+-p n _ l 



v p n -i^-a-+-\ xl ~ d -+-........ -t-p n x-+-% 



est la valeur de la fraction cherchée, réduite à sa forme la plus simple, et, par conséquent, les 

 fonctions V et V sont premières entre elles. Cette valeur de la fraction cherchée peut présenter 

 deux cas; savoir: celui où d est un nombre pair, et celui où d est impair. Mais nous réduirons le 

 dernier cas au premier, en supposant que, dans le cas de d impair, on introduise dans les fonctions 

 V, \ \TV un facteur commun, tel que l-t-| ou 1 — |, ce qui n'altère ni la forme de 1 équation 



(18), ni la valeur de la fraction j r , seulement ses termes deviennent divisibles par une même 



