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P. TCHÉBYCHEV. 



fonction x -+- h ou x — h. En vertu de quoi nous supposerons désormais que d est un nombre 

 pair et que les fonctions V et V peuvent avoir un commua diviseur x±h, diviseur qui ne pré- 

 sente aucun embarras dans nos recherches, comme on le verra ensuite. 



§ 45. En passant à la détermination des fonctions U et V, nous remarquerons que l'équa- 

 tion (18) peut être mise sous cette forme: 



(„ V— U -+- L V) (« V— U -+- L V) = {x 2 — li 2 )W 2 , 



ce qui prouve que la fonction (x 2, — ]\ 2 )W 2 est décomposable en ces deux facteurs : 



uV—L+LV, uV—U—LV. 



Comme ces facteurs, multipliés respectivement parl-f-w, L — u, donnent en somme — 2LU, 

 et que leur différence se réduit à 2LF, il est clair que leur commun diviseur doit diviser aussi 

 les deux fonctions 



U, V, 



et par conséquent, qu'il ne peut être que de la forme x ± h , car les fonctions U et V, comme 

 □ dus l'avons vu (§ 44), ne peuvent avoir un commun diviseur de l'autre forme. En vertu de 

 cela et en remarquant que la fonction (x 2 — li 2 )PV 2 ne peut être décomposée en deux facteurs 

 soit premiers entre eux, soit avec un commun diviseur de la forme x±h, que de ces deux 

 manières: „ „ „ , 



w 2 ,{x 2 -h 2 wî, 



{x~-h)W 2 -{x + h)W v 



nous concluons que l'équation 



(uV— U-+-LV)(uV— U—LV) = {x 2 —h 2 )W 2 

 entraine nécessairement l'une de ces quatre paires d'équations : 



uv— r ( -/J 7 =.//(;, uV — u — lv = (x 2 —h 2 )fr 2 , 



u v — U -+- L V = (x — h) W 2 , uV—U—LV=(x + h) PF t \ 

 u y — U h- LV = (x 2 —K 2 )W 2 , uV'—U—LV= W 2 , 

 U V — U -i- LV = (x -+- h)W 2 t uV—U—LV== (x — h)W 2 . 

 De ces quatre systèmes d'équations nous n'aurons qu'à considérer les deux premiers 

 uV — U-+- LV= W 2 , uV— U—LV={x 2 —\x 2 )W 2 , 



uV — U -t- LV = {x — h)W?, uV — U - L V= (x -+- %)W?i 



car les derniers s'en déduisent par le changement du signe de la quantité L. De plus, comme 

 les fonctions w, V sont respectivement de degrés n — /, / — d, et que le degré de U ne sur- 

 passe pas n — l — d — 1, on trouve que l'expression 



uV—U+LV 



