2 8 4 (84) P. TCHÉBYCHEV. 



XVIII. 



§61. Pour montrer une application de ce que nous avons exposé, supposons qu'il s'agisse 

 de trouver une fraction de la forme 



p' x n—2 _^ p " x n— 2+ z) x -t_p(n— i > 



qui, depuis x = — h jusqu'à x = -+- h, s'écarte le moins possible du polynôme donné 



x n ' — t- Ax n ~ 2 -+- Bx n ~ 3 + ...... 



Comme dans ce cas 



. I i 3 



on trouve que k, qui désigne la partie entière de -5-, est égal à 2. Pour cette valeur de k, et 

 en prenant 



u = * w ~ 1 -+- .4# n ~ 2 . Jte"- 8 h- 



nous trouvons par le développement en séries 



u -*- Vt^TL 2 = 2a> n -'-t- 2^ n ~ 2 -+- , 



(, ï +y^F)' i -^ 2 = (*-Hyi7^F) M - 2 =: 2 n ~ V~ 2 - "^V-'*h- ... ..), 



(a ^y^ZlY -2 * = (a!-i-y^7r 2 ) n - 4 = 2"- 4 (^- 4 - ^- 4 /tV- 6 -H ....). 

 En portant ces valeurs de 



dans la formule 



y 1 L{x^Yx^^ 2 ) n ~ 2k '*' 2 —h n ~ 2,c ~*' 2 {u-+-Yu 2 —L 2 ) 



x-t-Yx 2 — h 2 L{x+Yx 2 —h 2 ) n — 2k —h n — 2k {u-y-Vit 2 — L 2 ) ' 



et en faisant 



k = 2 3 



on a 



4 2 w - 2 l[^ n — 2-^^^^— ] - A"-2[2a; n - 1 -t- 2^«- 2 -+- ] 



.r Yx 2 — h 2 2 n-4 L ^ x n— i _ î !^h 2 x n - Q -t- ] — h n - i [2x n ~ 1 -^ 2Ax n ~ 2 -+- ] 



h 2 x n ~ l -+- [h 2 A — 2( U L]x n ~ 2 -+- 



2x n -+- 2Ax n ~ l - ^-x n - 2 -h- 



2 



Cette valeur de Z, développée en fraction continue, nous donne 



\h x -+- 



\ 



