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F. BOUNIAKOWSKY, 



fn -*-An-J,) -^/(n-J,) -^f{n-J,) -^/{n-JJ 



pour n pair. 



/n-4-(/2-4/l )f{n-2)-i-/3f{n-k)MA-\f^)f(n-^) -+-/5/(n-8)-»-(/6-V/3)/(/i-î 0) 



-H ... = kr-pf{n-^2) (5) 



pour n impair. 



Jn désigne, comme d'ordinaire, la somme des diviseurs du nombre n, et 

 J^. . . , la suite des nombres triangulaires 1,3,6,10... On observera encore que , 

 dans toutes ces formules, les nombres affectés du signe /"n'ont que des valeurs positives, 

 et que, par conséquent, le nombre des termes de chacune d'elles est limité. De plus, quand 

 on arrivera à un terme égal à yo, on devra le remplacer par n dans l'équation (1) et 

 par ^ dans les équations (2), (3) et (V). Dans la formule (5) le dernier terme du pre- 

 mier membre sera, évidemment, toujours multiplié par f\. 



Rappelons actuellement une propriété très simple dos nombres carrés et de leurs 

 doubles par rapport à la somme de leurs diviseurs. Nous avons fait voir, dans le Mé- 

 moire qui vient d'être cité (n° 2), que cette somme était toujours impaire, et que cette 

 propriété n'avait lieu, exclusivement, que pour les nombres de la forme et 26*. 

 Ainsi on aura toujours J'a"^ = 2k -t- i et f2b'^ = 2k~+-i ; au contraire, N n'étant pas 

 de l'une des deux formes a* ou 26^ on aura toujours /7\'^= 2/c. 



Les formules précédentes, combinées avec la propriété que nous venons d'énoncer, 

 conduisent, de la manière la plus simple, à plusieurs propositions sur les formes quadra- 

 tiques des nombres. Commençons par la formule d'Euler. 



1. Supposons d'abord que n soit différent de la suite des nombres 1, 2, 5, 7, 12, 15 



qui se trouvent compris sous les deux formes — ^ — ' ^^ns ce cas, la formule (1) ne 



contiendra pas un terme de la forme ±J0 qui, ccmme on le sait, devrait être rem- 

 placé par ± n. Commençons par supposer n = a^ ou 2(0", ce que nous désignerons 

 de !a manière suivante: 7i = (f,2)a^; on auia / n =/'(! , 2) = un nombre impair. 

 Or, pour que l'équation 



m -/(/i- 1) -y(/i-2) -4-. . . . . . = 0 



ait iîeu, il faudra nécessairement que, parmi les termes qui suivent le premier /"/i, il 

 s'en trouve au moins un qui soit impair; s^il y en avait plus d'un, leur totalité ne pour- 

 rait être que trois, cinq, ou en général un nombre impair. Soit donc 



