Recherches relatives aux formes quadratiques des nombres. 305 



le premier terme impair après f w, on devra avoir, en vertu de la propriété énoncée plus 

 haut, 



ou bien, en observant que n=(l,2)a^ 



l'ordre des coefficients 1 et 2 de n'étant pas déterminé. L'équation précédente donne 



, q=l±-/l2[(2,4)aî — (2,4)m2] _^ i 



6 



La condition de k entier exige que l'on ait 



1 2 [{2, k) ^ — (2, k) w^] -H 1 = (•^ 

 V étant impair. Or, suivant que n sera = ou à 2a^, on aura les formules 



6 (2fl)^— (6,12) (2af -+- 1 = 

 3 {kaf— (6,12) (2Mf -4- 1 = 



qui reviennent à 



6(2a)'-t- 1 = ^'^-+-6(2MJ^ ou bien = r^^- 3 



3 {kaf--^- 1 r=r P^-H 6 (2a)^ ou bien = 3 (\-af . 



Donc, en vertu de la première de ces deux formules, le sextuple d'un carre' pair, 

 augmente' de l'unité^ pourra toujours être représente' par la somme d'un carré impair plus 

 le triple ou le sextuple d'un carré pair. La seconde formule montre que la même dé- 

 composition a lieu pour le triple d'un carré paircment-pair, augmenté de l'unité. 



Soit par exemple a =3; en faisant 7i = 3^=9, on aura 1 équation 

 /9-/8 -JT-^fk-^f 2 = 0, 

 dans laquelle, outre le premier nombre 7^9= 13, on a trois termes 



/8 = 15, /4 = 7, /2 = 3 

 qui sont impairs. On aura donc les trois solutions suivantes: 



6.6^-+-l== 5^ -H 3.8^ 

 6. 6^^ H- 1 = 11^-1-6.4^* 

 6.6^-4- 1 = 13^ -H 3 



Soit encore ft = 2.4^ = 32. On aura 



/32 — /3l — / ^O -4-/27 -t-y25 — /20 — /17 -h/10 -t-/6 = 0. 

 Dans la série des nombres 31, 30, 27 etc. on ne trouve aucun qui soit double d'un 

 carré, et un seul, nommément 25, qui soit carré. Il n'y aura donc qu'une seule repré- 

 sentation du nombre 3(4 2)^-1-1 — 193 (autre que celle que l'on considère) par la 

 somme d'un carré impair plus le triple ou le sextuple d'un carré pair. Cette décomposi- 

 tion sera 



3.8^ 1 = 13^-4-6. 2^ 



