306 . F. BoUNIAKOWSKY, 



II ne serait pas difficile de trouver, au moyen de la fonction / l'expression ana- 

 lytique du nombre des décompositions de la formule 6(2a)'^-Hl en une somme com- 

 posée d'un carré et du triple ou du sextuple d'un carré. Pour cela, en supposant re=a*, 

 il n'y aurait qu'à exprimer, combien dans la série des nombres 



/(/t-2), /(a-5), /(n-7),..../(«-^'),...: 



il y a de termes impairs. Or, si l'on observe que l'expression 1 — - est égale à 



1 ou à zéro, suivant que fm est impaire ou paire, le nombre de solutions dont nous 

 parlons, et que nous représenterons par N, sera évidemment exprimé par la formule 



à laquelle ou peut donner la forme 



iV=.iM-i^(-l) 2 



K étant le maximum de /c, et TJ/ désignant combien il y a de nombres pentagonaux des 

 deux formes inférieurs à n, ou, en d'autres termes, le nombre des valeurs en- 



tières et positives de k satisfaisant à la condition 



en faisant abstraction du cas où n serait un nombre pentagonal. 



Appliquons ce qui vient d'être dit à l'exemple rapporté plus haut ; nous avions 

 /i = a* = 9 ; par conséquent 



2 ^ ' 



d'où 



K < — — ^ î ou K=2. 



On aura donc les deux valeurs k=l et k = 2 à substituer dans la formule — ^ — ? 

 ce qui donnera les quatre nombres suivants: 



1, 2, 5 et 7, 

 qui, retranchés de n = d, produisent 



8, 7, ^ et 2. 

 On a donc M=k , et comme de plus 



/8=15, /7 = 8, /4 = 7, /2 = 3, 



il viendra 



A = 2 /(9 --) 



