Recherches relatives aux formes quadratiques des nombres. 307 



Donc enfin 



conformément à ce que nous avons trouvé plus haut. 



Supposons actuellement que l'on ait n—' — ^ — ' 6* de plus, ii soit impair. 

 La formule (1) sera terminée, dans ce cas, par le nombre impair rh/i, qui remplacera fQ. 

 Il faudra donc que, parmi les termes 



fn, /(n-1), /(/i-2), /(n-5)...., 



il s'en trouve au moins un qui soit impair ; cela revient évidemment à dire que, parmi 

 les nombres 



n , Il — 1, n — 2, n — 5,.... n — , • • • • 



il y en a au moins un de l'une des deux formes a} ou 2a^ Supposons que le premier 



T 



— —a 9 



2 



nombre qui satisfasse à cette condition soit n — , différant de K. On aura 



ou bien 



—2 =-2 »-(1.2K. 



Donc, un nombre pentagone impair peut toujours s'exprimer par la somme d'un autre 

 nombre pentagone plus un carre' ou le double d'un carre'. 



Exemple. Soit n = — ^^-^ — '- = 15 ; on aura 



/15 -/a -/13 H-/10 -/3 -15 = 0. 



La série 15, ik , 13, 10..., ne contient point de carrés ; le seul nombre 8 représente 

 le double d'un carré. Par conséquent 



et enfin 



8 = 15 — 7= 15— ^l?^^ = 2.2^ 



•3-3^-<-3 _ 3.2''h-2 . ^ ^ 

 2 — 2 



2. Considérons actuellement la formule (2). En rejetant les multiples de 2, on 

 aura la congruence 



f2n -4-/(2/1-1 .2) H-/(2/i- 2.3) -H. . . .-^/[2n—k{k-t-l)-]-t-. . . . = 0 (mod. 2) (5) 

 avec la condition que n ne soit pas un nombre triangulaire, et que, par conséquent, 

 2/1 — k{k-+-l) ne puisse se réduire à zéro. Représentons, pour simplifier, la suite des 

 nombres triangulaires 



i , 3, 6, 10.... 



par 



^1, ^2, ^3, ^4 ... ; 



