308 V, BOUNIAKOWSKY, 



il s'en suivra , qu'en supposant 2n = {i, 2)<i*, et par conséquent f2ii ■= un nombre 

 impair, la suite des termes (5) contiendra nécessairement un autre nombre de la même 

 forme. Soit 2n — 2J^ = [i ,2)u^ ce nombre; on aura 



(l,2)a^ = 2z^^-i-(l,2)a\ 



Donc, tout carré pair est décomposable en une somme de deux termes, dont le premier 

 est le double d'un nombre triangulaire, et le second un carré ou le double d'un carré. 

 Il en est de même du double d'un carré donné, pair ou impair, sauf le cas où ce carré 

 représenterait en même temps un nombre triangulaire, cas que nous avons commencé par 

 exclure. 



Soit, par exemple, 2n = 6* = 36 ; on aura 



/36 -i-f ik -I-/30 -+-/2?i- H-/ 16 -4-/6 = 0 (mod. 2). 



Parmi ces termes il ny a, outre le premier, que le terme y 16 qui soit de forme re- 

 quise, c'est-à-dire impair. Donc, puisque 



16 = 4^^ = 36 — 2z/,, 

 on aura la seule décomposition suivante 



6' 2J, -+- k\ 



Voici un exemple pour la forme 2a'^. Soit 2/1 = 50 = 2.5^, le nombre 5* n'é- 

 tant pas triangulaire : on aura 



/50 -^-/'^8 -i-ft^k -»-/38 -4- /30 -I-/20 -f-/8 = 0 (mod. 2). 



Le (Jernier nombre 8 = 2.2^ satisfait seul à la condition prescrite. Donc 



2.5^ — 2z/g = 2.2», 



d'où 

 ou bien 



2.5^ = 2J--i-2.2^ 



5^ = -f- 2\ 



Pour ce qui regarde le nombre de décompositions de a"^ ou de 2a* en une somme 

 de la forme dont il s'agit, on trouvera de suite, qu'en représentant ce nombre par iV, on a 



k:=K mn — k(h-+-l)l 



K désignant la valeur maximum de k, satisfaisant à la condition 



k(k-t-i) < 2n. 



La décomposition dont il est question dans ce n" peut être présentée sous une autre 

 forme par la transformation du nombre triangulaire en carré. En effet, la formule 



(l,2;a* = 2z/^-+-(l,2)u* 



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