Recherches relatives aux formes quadratiques des nombres. 309 

 donne, après avoir remplacé par ^\ 



— 1 ± ■/(! , 2)(2a)2— (1 , 2)(2î*)"'' h- 1 

 ^ = 2 ' 



et par conséquent 



(l,2)(2«r-(i,2)(2af H-1 = P% 



p étant impair. De là 



(l,2)(2a)*H-l =f^-t-(l,2)(2M)\ . 

 Ainsi, un carré donné pair, aussi bien que son double, augmenté de l'unité ^ est décoin- 

 posable en un carré impair, plus un carré pair ou le double d'un carré pair. 



Soit proposé, par exemple, de décomposer de cette manière le nombre 65 = 

 (2 . ky -+- 1 ; on ne trouvera que la solution suivante : 



8^ -1- 1 = 7^ -+- ^^^ 



Nous avons supposé dans ce qui précède que le nombre n de la formule (2) n'était 

 pas triangulaire ; or, il est facile de voir qu'en lui supposant même cette forme, la dé- 

 composition 



2(2«)^-*- 1 =p^-+-(l,2)(2a)^ 

 aura toujours lieu si a est pair. En effet, nous avons déjà observé que, pour le cas 

 de n triangulaire, supposons égal à Hi^ll}, [\ faut, dans la formule (2), remplacer le 

 dernier terme yo par y ; par conséquent, on aura pour ce cas la congruence 



f2n -i-/(2n— 1 . 2) -+-/{2n—2 . 3) H-/(2n— 3 -i- (2/c-i- i)\ = 0 (mod. 2). 



Or, si l'on admet que n, ou, ce qui revient au même, - — - — - est pair, le dernier 

 terme 



. (2/c-Hir4=^^^^^N 



évidemment entier, sera également pair, et la dernière congruence donnera 



/2n -H/(2fi —1.2) -+-/(2/i — 2 . 3) H- -t-/2k = 0 (mod. 2). 



Si donc 2/1 est de la forme a''' ou 2«^ avec la condition de a pair, il faudra nécos- 

 sairement que parmi les nombres 



2/1 — 1.2, 2/1 — 2.3, 2/1—3.^1-, 2k 



il s'en trouve au moins un qui soit de la même forme. Observons maintenaiit que 

 2n — k[k-t-i) ne peut jamais être égal à un carré; quant à l'hypothèse 2/i = A"(A:-i-l) = 2a^, 

 elle est admissible, et conduit à une infinité de solutions. En effet, de l'équation 



