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r. BOUNIAKOWSKY, 



on tire 



, — 1 -4- 1/2(20)2 -1-1 



^= 2—' 



par conséquent, il s'agira de rendre 2(2a)*-*-l carré complet, ce qui n'est qu'un cas 

 particulier du problème bien connu de Pell. La plus petite valeur paire de a qui satis- 

 fait à cette condition est « = 6 , ce qui donne k = 8. On aura donc 2a^ = 72, 

 et par suite 



/72 H-/70 -+-/66 -+-/60 -I-/52 -+-/^2 -4-/30 -+-/ 16 = 0 (mod. 2). 



Dans la série des nombres 70, 66, 60 etc. on trouve, comme on devait s'y attendre, 

 un nombre de la forme (1,2 6^, nommément 16, qui est un carré complet. Donc 



2 . 6^ = 2//^ -f- 4^% 



et par suite u=k; on trouvera facilement f = 15, d'où, définitivement 



2.12^H- 1 = 15^H-8^ 



3. Passons aux formules (3) et (5k) qui s'accordent à donner pour n impair et pair^ 

 mais non -triangulaire, la congruence suivante: 



(6) fn -i-/{n-J,) H-/(n— -^f(n—J,) -h . . . . = 0 (mod. k). 



Lorsque n est triangulaire, il faudra, comme on l'a dit plus haut, remplacer yO par ^ 

 dans les équations (3) et (4), ce qui nous conduira, dans ce cas, à la congruence 



(7) fn -^-f{n—J, ) -i-f{n-J^) -^f(n—J,) -*-....= n (mod. k) , 

 en omettant le terme qui contient /O. 



En supposant dans la congruence (6) n de la forme a^ ou 2a^, on aura y n im- 

 paire, et par conséquent l'un des nombres 



f{n—J,), /{n—J^), /{n — J,),.... 



devra être de la même forme ; donc 



(1,2) a'' — J, = (l,2)u\ 



ou bien 



(l,2)a^ = z^,-^-(l,2)u^ 



De là nous concluons que tout nombre carré ou double d'un carré, s'il n'est pas trian- 

 gulaire^ se décompose en un nombre triangulaire, plus un carré ou le double d'un carré. 

 Remplaçons z/^ par — ^ — ' ^ous aurons 



(l,2)a^ = '^^^-H(l,2)a^ 



c'est-à-dire 



{2,k)[2af~^-\ =(2A-+-l)^-t-(l,2)(2M)^ 



