Recherches relatives aux formes quadratiques des nombres. 3 1 1 



Par conséquent, tout nombre de la forme 8a^-4-l ou [kaY -\- 1 est de'composable en 

 un carré impair ^ plus un carre' ou le double d'un carre' pair. Ainsi, si l'on fait 

 /i = = 3^ = 9 , on aura 



8.3^-4- 1 = 3^-t-8\ 



et, en supposant n = = 2.^^ = 32, on obtiendra 



16^-1- 1 = 15^-^-2.^^^ 



La formule (7) conduit à un théorème sur les nombres triangulaires impairs. En 

 efifet, pour que cette cougruence ait lieu dans l'hypothèse de n impair, il faut que, parmi 

 les nombres 



n , n — n — z/„ n — J, . . . . 



il s'en trouve au moins un (ou en général un nombre impair) qui soit de la forme a* 

 ou 2a^. Donc, puisque n est triangulaire, supposons égal à on devra nécessaire- 

 ment avoir 



d'où 



J, = .d^-^H,2)u\ (9) 



Ainsi, tout nombre triangulaire impair est décomposable en un autre triangulaire, plus un 

 carre' ou le double d'un carre'. Voici quelques exemples de ces décompositions: 



3 



1 H 



h2.1* 



15 



= 6h 



H 3^ 



21 



= 3h 



H 2 . 3^ 



45 



= 3Gh 



1-3" 



55 



= 6h 



H 7" 



On tirera aussi de l'équation (9) 



8J^_ i = (2^-4-1)^ -t- (2, k) (2«)^ 



d'où l'on conclura que l'octuple d'un nombre triangulaire impair, augmente' de l'unité, est 

 toujours décomposable en une somme de deux carrés, ou en un carré plus le double d'un 

 carré. 



En mettant l'équation précédente sous la forme 



(2A-4- 1 y = (2^-»-l f -H (2, k) {2u)\ 



et observant que les nombres triangulaires impairs correspondent aux deux formes 

 ^ = -H ( 1 ou 2) , on aura 



[8. -H (3, 5)]" = (2^-Hl)" H- (2, 4)(2a)\ 



Donc, la proposition précédente peut aussi être énoncée de la manière suivante: le carré 



Uémoires Se. matb. et pliys. T. T. 



