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V. B 0 U N I yl K 0 JV s K Y , 



de tout nombre de la forme 8p-4-(3, 5) se décompose en deux carrés, ou en un carré 

 plus le double d'un carré. En voici des exemples: 



ll^ = (8.î-t-3f = 7^-h2.6^ 

 13^ = (8 1-»-.-))^ = 5" -H 12' 

 19' = (8.2h-3)'= 17'-h2.G^ 

 21' = (8.2h-5)'= 7'-+-2.1'*^ 



k. Passons maintenant à la formule (5) qui a lieu pour un nombre n impair; elle 

 conduit de suite à la cong^ruencc 



fn-^/2 /(/i-2) -^fi. r{n—k) -^-fk . f{n—G) -i- . . .-^f{K-t-i)./{n—2K)-^. . . . 



= (mod.4). (10) 



Examinons successivement les quatre hypothèses que l'on peut faire par rapport à 

 son second membre 



l.!^./(n-H2). 



Ces quatre suppositions sont: 



^^:i./(/^-4-2)^l(mod.fO (11) 

 i.~.f(n-^2)^3{mod.k) (12) 

 {.'^.f{n-^2)^2{mod.k) (13) 

 l.^./(;i-»-2)^0(mod.î^). (H) 



Nous ne nous arrêterons pas au cas où n-4- 2 serait un nombre carré ; cette hy- 

 pothèse nous conduirait immédialement au théorème qui termine le n" 3. Passons à la 

 sup|)Osition que n-^2 est un nombre premier. Et d'abord observons que, si ce nombre 

 f^remier est de la forme hk-^i, la fonction f{n-^2) sera simplement paire, puis- 

 qu'on aura 



/fn-f-2) = kk-^^2 = 2 (mod. k). 

 Donc, pour satisfaire dans ce cas à la congruence (11), il faudra que l'on ait 



1 .^.2(2/c-i-l) = 1 (mod. k) 



ou bien 



k[2k-t-i)^ 1 (mod. 4) , 



ce qui revient à 



{k-h-t){2k—i) =3 0 (mod. k) ; 



