Recherches relatives aux formes quadratiques des nombres. 313 



de là on tire 



A; -4- 1 = 0 (mod. 4) , 



et par conséquent 



A: = 4e 3 , 



ce qui donne , en représentant par P le nombre premier n 2 , 



P = ft-t-2= 16e -I- 13. 



Si. nous remarquons maintenant que le nombre n=P — 2 = 16e -t- 11 ne peut 

 pas être égal à un carré, puisque ?^ = 4 (4e-i-2) -t- 3 , il s'en suivra que, parmi les 

 termes de la congrucnce (10), le premier excepté, il doit nécessairement s'en trouver un, 

 supposons 



/{K-^i)./{n -2/0 



qui soit congru à 1 ou à 3 suivant le module k, ce qui exige que les nombres J\K-^i) 

 et y(/i — 2K) soient tous doux impairs; donc, puisque n est impair, on doit avoir 



K-i- i ={\,2)v^ et n — 2K=u', 



d'où l'on tire 



^ P = n-i-2 = a^-»-(2,'0ç'\ 



J>-1 



Or, il est facile de voir, soit par le théorème relatif au résidu de 2 2 , soit 

 directement, que la forme 



16e-*- 13 = a^H-2(^^ 



est inadmissible. En effet, en observant que u est impair, et que v peut être impair ou 

 pair, on aura à examiner les deux formules 



1 6e -t- 1 3 = (2A-4-1 f -f- 2 (2//-I- 1 )^ 

 et 16e-4- 13 = (2A-^-l)^-t-2.^^^^ 



La première conduit à l'égalité 



16e-HlO = 8.^i^Ul6.^\ 



qui est évidemment impossible, puisque tous ses termes, excepté le nombre 10, sont di- 

 visibles par 8. 



La seconde formule donne l'équation 



16e-^-12 = 8.^^H-8./^^ 



qui également ne peut avoir lieu à cause du terme 12, non-divisible par 8. 



Cela posé, nous sommes en droit de conclure quun nombre premier P, de la forme 



