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r. BOUNIAKOJVSKY, 



l6e-»-13, est toujours décomposable en une somme de deux carrés. En voici des 

 exemples : 



29 = 5^ 2^ 

 61 =5* -1-6^ 

 109 = 3^ -+-10^ 



L'hypothèse (12), c'est-à-dire 



i-^-/("-»-2)^3(mod.^), 

 en supposant n -i- 2 premier et de la forme hk-v- \ , donne 



4.-„-.(Jt/cH-2) = 3(mod. 4) , 



m 



ou bien 



(2/c-»- 3)(fe — 1) = 0 (mod. 4) , 



d'où l'on déduit 



;t = 4e -4- 1 , 



et par suite 



/1-I-2 = P = 16e-f- 5. 

 En raisonnant comme plus haut on trouvera 



P = M^-+-(2,4)f% 



et en excluant la forme 



P = -t- 2c^ 



par un développement lout-à-fnit semblable au précédent, on arrivera à la conclusion 

 quun nombre premier P de la forme 1 6e -+- 5 est également décomposable en une somme 

 de deux carrés. 



Los doux formes 16e -♦-5 et i 6e -h 13 que nous venons de considérer, sont 

 contenues dans la forme unique 8/c-i-5. Donc, un nombre premier 8k -i- 5 est tou- 

 jours décomposable en une somme de deux carrés. Les démonstrations que l'on donne de 

 ce théorème sont fondées sur des principes tout-à-fait différents de celui dont nous ve- 

 nons de faire usag-e. 



Nous ne nous arrêterons pas à la discussion des cas analogues qui se présenteraient 

 en faisant différentes hypothèses sur la forme du nombre n -t- 2 , ou de n en général. 

 Nous passerons de suite à une autre considérai ion, qui nous conduira à des théorèmes 

 très remarquables, concernant une relation d'égalité entre deux nombres premiers. 



5. Considérons un nombre premier P de la forme 8k~t-7, qui, comme on le 

 sait, ne peut être représenté ni par la somme de deux carrés, ni par celle d'un carré 



