Recherches relatives aux formes quadratiques des nombres. 315 



plus le double d'un carré. Si, dans la formule (10), on suppose h-i-2 = P = 8A:-i-7, 

 on aura y^(/i-i-2) = P-i- 1 = 8(/c-h 1) , et par suite 



/(P-2) -.- f2.f{P-h) -f- /3 ,/(P-6) -t-. . . . 



-h/(â'-h1) /[P_2(/r-*-l )]-!-. . . .= 2(ît/c-t-3)(/^-4-l)(mod.îi-). 



Il se présente actuellement deux cas, suivant que k-\-\ est pair ou impair. Dans 

 le premier, le produit 2(/v-+-3)(/c-i-l ) se trouvera remplacé par zéro, et dans le se- 

 cond, par le résidu 2; dans ce dernier cas, k sera c'est-à-dire ég^al à 2e, ce qui 

 réduira P à la forme 16eH-7. C'est par ce dernier cas que nous allons commencer. 



Supposons donc P=16eH-7; la dernière congruence deviendra 



/(P— 2)-h/2./(P— 4)-h/3./(P— 6)-f-. . . . 



-^r-f{K-^-K) /[P— 2(/i:-Hl)]H-. . . .= 2(mod. 4). (I5) 



En considérant avec quelque attention cette congruence, nous nous appercevons que, 

 pour qu'elle soit satisfaite ^ il faut nécessairement admettre l'une des deux hypothèses 

 suivantes: 



1°. Parmi les termes qui composent le premier membre de la congruence (15), 

 deux, au moins, doivent être impairs, c'est-à-dire congrus à 1 ou à 3 suivant le mo- 

 dule 'i-. S'il y en avait plus de deux, ce serait quatre, ou six, ou en général un 

 nombre pair. 



2°. Si cette première hypothèse n"a pas lieu, il faudra absolument qu'un des termes 

 du premier membre de la congruence (15) (ou en général un nombre impair de termes) 

 soit congru à 2 suivant le module k. 



Or, la première hypothèse, vu la forme du nombre premier P, est inadmissible. En 

 effet, considérons le terme général ^(/i-f-l) y^P — 2(/^-i-l)] que nous supposerons 

 congru à 1 ou à 3 suivant le module k, ce qui revient à dire qu'il est égal à un nombre 

 impair. Pour cela il faudra que f{K-\-\) et f\P — 2(K-i-l)] soient séparément im- 

 pairs, et que par conséquent /Th-I et P - 2{K-\-\^) ne puissent représenter que des 

 carrés ou des doubles d'un carré. Comme P — 2(/^-i-l) est impair, il ne pourra être 

 qu'un carré. Il faudra donc que l'on ait 



IM={^\,2)a' et P— 2(/i:-i-l) = 6% 



d'où 



P = 6* -i- 2a^ ou bien P = 6^ -h {2af. 



Mais comme P est de la forme i6e h- 7 = 8(2e) -i- 7 , ces deux inégalités sont im- 

 possibles, et par conséquent la première hypothèse est inadmissible. 



