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Cela posé, voyons à quoi nous conduira la seconde supposition qui, nécessairement, 

 doit avoir lieu. Il faudra que Ton ait 



y'(A'-+-i)./[P_2(/^-+-l)]E=2(mod. h). (16) 



D'abord il est visible que l'un dos facteurs /(A'h-1) ou /[P-2(Zi-i-l)] doit être 

 impair; par conséquent, si P—2{K-\-\) n'est pas un carré, il faut que K-^i soit 

 de la forme (l,2;a^; ou bien, si K-^-\ n'est pas de la forme (1.2)a% il faut que 

 P— 2(A'-+-1) soit égal à 6^. Si l'on suppose 



AH-l=(l,2)a\ 



on devra nécessairement avoir 



f\P—2 {K-^ij\ = 2 (mod. h). 



Au contraire, si 



P— 2(A-i-l) = 6% 



on aura 



/(^[-Hl) = 2(mod. Zt). 



Or, pour qu'en général on ait 



/iV=2(mod. îi), 



N ne pourra avoir que la forme Qc^ ou 2Qc'^ , Q désignant un nombre premier de 

 la forme hl-t- i ; toute autre bypotlièse par rapport à la forme du nombre N qui, 

 d'après notre supposition, n'est ni un carré, ni le double d'un carré, conduira à la con- 

 gruence N = Q {moû. k) , ce dont nous allons nous assurer directement. 



Supposons qu'après avoir séparé du nombre N tous les facteurs carrés, l'on ait 

 trouvé 



N= qq'q . . . .c^ ou bien N=2qq'q\ . . .c"^, 



q, q , q . . . . désignant des nombres premiers impairs quelconques, différents entr'eux; 

 admettons d'abord que q, q , q ' . . . soient premiers à c. On aura 



/^^^/'Z-Z^'-A"- ./c' = (7-^-O(9'-+-l)(7"-»-l)....(2LH-l)^0(mod. k) 

 f^=-f<î-f<î' f<l"- ■ -f^c^ = (9-^-1) (7 H-1) . . . .(2#-^l) ^ 0 (mod. k), 



puisque chacun des facteurs , g'-i- 1 , 7 -J- 1. . .. est pair, et que leur nombre 



n'est pas inférieur à deux. Mais s'il n'y avait qu'un seul facteur q de la forme hl-^-i, 

 on aurait 



fN = f[q{ l , 2) c^J =fq . /(l , 2 j = {kl-^-2] (2L-.-1 ) = 2 (mod. 

 La supposition de q = kl — 1 conduirait, au contraire, à la congruence 

 /N=f[qH, 2)c^j =fq.f{l, 2)c^ = kl(2L^i) ^ 0 (mod. k). 

 Donc, un entier mis sous la forme Qc^ ou 2Qc^, Q et c étant premiers entr'eux. 



