Recherches relatives aux formes quadratiques des nombres. 317 



n'aura pour somme de ses diviseurs un nombre congru à 2 suivant le module k, que 

 lorsque Q sera un nombre premier de la forme kl-i~t. 



Si c était divisible par quelques uns des nombres premiers q, q , q' . , . . , ou par 

 tous, on arriverait encore à la même conséquence. Eu effet, soit d'abord 



C = q'q''q"'....C, 



C étant premier avec chacun des nombres q , q', q " . . . . On aura 



Or, chacun des facteurs 



étant divisible au moins par la première puissance de 2, on en conclura que /W= 0 (mod.^) 



tant que le nombre de facteurs q, q\ q'.... n'est pas inférieur à deux. S'il n'y 

 avait qu'un seul facteur q, on aurait 



/N:=/q^^'^' .fC\ 



Soit d'ahord q de la forme hl — 1 ; il viendra 



/Y'-^' = 1 H- {hl—\y -f- {hl—i / -H-. . . .-f- i^U—if'^' = 0 (mod. \). 

 Donc la forme q=kl — 1 ne pourra pas donner 7"^^= 2 (mod. 'i-). Si l'on suppose 

 q = kl-^l , on aura 



ff^-^'= 1 _+-(z,iH-i)» -+-{\l-\-\;''-^-^~i-^{2l-^r-\) 



= 2(A-i-l)(mod. 't;. 

 Cette dernière congruencc, suivant que A sera pair ou impair, donnera 



/A'=2(mod. ^) ou /iV=0(mod. fi)- 



On aura donc 



fq'^-^'.C^ = fqiq'^Cf = 2{moà.k) 

 et fq'^'-^KC =JqY' ^'Cf^ 0 (mod. k). 



Donc, un entier Qc"^ , Q étant impair, et non-premier avec c, n'aura pour somme de ses 

 diviseurs un nombre congru à 2 suivant le module k , que lorsque Q sera un nombre pre- 

 mier de la forme kl -i- l , et encore faut -il pour cela que la plus haute puissance de 

 Q qui divise c, soit paire. 



Il nous reste encore à considérer le cas où l'on aurait 



N = 2'"'^' . q""'-^' q'^"-^' q"^'^' . . . . C% 

 C étant premier avec chacun des nombres 2, q, q, q" . . . . Or, s'il y avait plus 

 d'un facteur q dans le second membre, ou verrait, comme plus haut, que la congruence 

 yiV=2(mod. 4) ne peut pas avoir lieu. Sujij osons doue 



