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q et C étant tous deux impairs et promiers cntr'eux. On aura par conséquent 



De plus, comme y2^'^~*"* et sont impairs, il viendra 



Si l'on observe actuellement que, conformément à ce que l'on a remarqué plus haut 



fq^^-i-i = 0 (mod. k) 



quand q est de la forme M — 1, il ne restera à examiner que l'hypothèse de q = kl-t-i. 

 Or, nous savons déjà que fq^'''^^-, dans cette supposition, est congru à zéro ou à 2 

 suivant que A est impair ou pair. Donc, le seul cas qui donne yiV= 2 (mod. 'i), cor- 

 respond à la supposition 



q étant un nombre premier de la forme hl~v-\. 



L'examen détaillé que nous venons de faire nous conduit immédiatement à conclure 

 la légitimité de l'assertion rapportée plus haut, c'est-à-dire que la somme fN ne pourra 

 être congrue à 2 suivant le module k, que lorsque N aura la forme Qc^ ou 2Qc^, Q dé- 

 signant un nombre premier kl-t-i. 



Après ces considérations il est visible que, pour satisfaire à la congruence (16), on 

 ne pourra faire que l'une des deux suppositions suivantes : 



( /f-i-l=(f,2)«^ 

 ' I P—2{K-^l} = Qc'' 



( K-^l = {i,2)Qc^ 



^ \ P—2[K-^r-\)=h'' 



Q désignant, nous le répétons, un nombre premier de la forme kl-t-i. 



La première hypothèse conduit aux décompositions ;' 

 P 2a^ -H (2c^ ou bien P = (2af -t- Qc^ 



et la seconde à 



P = -H 2(2c^ ou bien P = b"" -t- Q[2cf. 



Ces quatre formes peuvent se réduire aux trois suivantes: 



-+- (2^-^ , 2tt^ -+- Qv" , -4- 2Q9^ , 



•lorsque l'on ne prononce rien sur les nombres « et dans la première, en tant que l'un 

 est pair et l'autre impair. 



La loi de réciprocité va nous faire voir que les deux formes a*-f-Qt'* et 

 u*^2Qv'^ sont inadmissibles pour la représentation du nombre premier P=16e-t-7, 

 et que la seule forme qui lui convienne est 2u^-^Qv^. 



