V,. B 0 u N I j m (h m^s.^K^n^}:yvM,% 



- et par conséquent aussi , , (; '«iaioî !;i > a'» 



et que d'ailleurs ) = il faudra que (^|-) soit égal à — 1. Pour cela Q doit 



être de la forme 8m rh 3 ; mais Q = kl -t- i ; pour que ces formes s'accordent 

 entr'elles, on ne pourra admettre que l'égalité 4^-1-1= 8m— 3, ce qui suppose l im- 

 pair. De là on tirera Q = 8k-t-5. Doue, enfin, on parvient à ce théorème remarquable: 



Tliëorème. Tout nombre premier 16/c-i-7 est nécessairement de la forme 



Q représentant un nombre premier 8e h- 5. 



Cette proposition établit une relation d'égalité' très simple^entre deux nombres pre- 

 miers, ce dont on ne trouve point d'analogue, autant que je le sache, dans les théorème 

 connus de la théorie des nombres. La loi de réciprocité, découverte par Le gendre, ne 

 donne qu'une relation de congruence entre deux nombres de cette nature. Voici plusieurs 

 exemples numériques du théorème qui vient d'être énoncé: 



7 = 2 1^-4-5.1% 23 = 2. 3^-4-5. l^ 71 = 2. 3^-t- 53 . 1% 

 103 = 2. 5^ H- 53. l^ 151 = 2. 1^-i- 149. 1^=2. 5^-H 101. 1^=2. 7^* -1-53.1* 

 167 = 2.3"-H 149.1% 199 = 2.1^-+- 197.1^ 



= 2. 3^ -t- 181.1^ 



.t;p-; :■■ ^.^iji =2.5^-1-149.1^ 

 . =2.7^-+- 101.1^ 

 ' ■ ' = 2.9^ -t- 37.1^ 

 503 = 2.15^-f- 53.1^=2.7='-+-5.9^= etc. etc. 



Il est d'ailleurs visible qu'un nombre premier iÇ>k-\-l ne pourra être représenté 

 par la forme 2u^-\~Qv'^, qu'un nombre impair de fois, puisque, dans le cas contraire, 

 le premier membre de la formule (15) étant congru à zéro suivant le module 4, la con- 

 gruence ne serait pas satisfaite. Toutefois, il faut exclure de ce nombre, les représen- 

 tations de P= 16/c-f-7 par la forme 2a^-H (2^'^, dans lesquelles la plus haute puis- 

 sance de Q, qui divise v, serait impaire. Ainsi, par exemple, le nombre premier 1367, 

 outre la représentation 



1367 = 2. 25^-H 13.3% 



qui correspond à la congruence 



/(1367 — 2.25')=/(13.3') = 2(mod. 4), 



en offre une autre 



1367 = 2.11^-1-5.15% 

 dans laquelle 15 est divisible par 5, et qui donne par conséquent 



/(l 367 — 2 . 1 1 ^) =/(5 . 15% = /5' . /3^ = 1 56 . 1 3 = 0 (mod. 4). 



