Recherches relatives aux formes quadratiques des nombres. 32 1 



Remarquons aussi en passant que le théorème que nous venons d'établir conduit im- 

 médiatement à cette proposition connue: un nombre de la forme IG/c-f-T est toujours 

 de'composahle en deux carrés plus le double d'un carré. En effet, soit P ce nombre; 

 puisque , 



et que ^st de la forme 8e-*- 5, on aura d'abord ^ .. 



et par suite 



conformément à ce qui vient d'être dit. Au reste, cette décomposition, comme on le 

 sait, a lieu pour tout nombre impair. 



6. Si l'on suppose dans la formule (10) que n-\-2 est un nombre premier de la 

 forme 16/c-h15, et que l'on représente ce nombre par P, la formule citée deviendra 



y(P_2) -i-/2/(P— 4) -i-/3/(P — 6) -4-. . . . 



-+-/(A^-t-I)/[P — 2(A'-i-l)]-+- =0(mod.4). 



S'il arivait que le nombre P — 2= IG/cn-lS fut aussi premier, on aurait alors 



/(P_2) 16fc H- H = 2 (mod. 4). 



Or, aucun des termes 



f2J\P-k), /3/(P-6),...., 



vu la forme du nombre premier P=8^-f-7, et d'après ce que l'on a fait voir dans 

 le n° 5 , ne peut être congru ni à 1 ni à 3 suivant le module 'i^ ; il faudra donc que 

 l'un d'eux soit =2(mod. 't). Supposons 



/(/^-f-l)/[P — 2(A'-H l)] = 2 (mod. k), 



K étant différent de zéro. On aura, comme dans le n" précédent, 



K-+- 1 = ( 1 , 2)a^ et P— 2 ( A-t- 1 ) = Qc"^, 



ou bien 



A-*-i =(l,2)(2c^ et P— 2(A-^-l) = 6^ 



Q désignant un nombre premier de la forme hl-^i. Mais nous avons déjà vu plus 

 haut que des quatre formes auxquelles donnent lieu ces hypothèses, la seule 



P = 2u^ -4- Qv"^ 



est admissible, avec la condition que Q soit de la forme 8e-t-5. Donc, si P — 2 et 

 P sont deux nombres premiers consécutifs, dont le second P est de la forme 16/c-i-15, 

 çe nombre P, outre la décomposition 



P = 2.1^-i- fP— 2). l\ 



