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axe nach der Mitte des Himmels gerichtet ist, die zweite Ordinate f in der Ebene des Himmels- 

 äquators auf derselben und die dritte z' auf letzterer senkrecht steht, und nennt die Abscisse x' und 



t g ( ;J60 — A'-t- a')=a', o Jf A/ — =f b' so ist y' = a' x' und z' = b'. x', und für einen 



cos obU — A -t- a 



t a Uli 



Punkt in der andern Gesichtslinie, wo tg (360— A' -+- a") = a" und ~— — = b" v" = 



cos (dol) — A' -+- a" ) 



a" (x" — m) -+- n, z" = b" (x" — m) - d. Für den Durchschnitt der beiden Projectionen er- 



• , • , , a" m — n b" rn-+-d 



gieot sicn x = — ^und x = -— — — • Sind die Beobachtungen genau, so muß x' = x" sein 



a — a d — l) 



und die Entfernung vom ersten Orte ist x K(a' 2 -t- b'' 2 -t^2). Bei unsicherer Beobachtung gehen die Ge- 

 sichtslinien über einander weg, ohne sich zu schneiden, und es weiden die Werthe von x, welche für 

 den Durchschnitt aus beiden Projectionen abgeleitet werden, verschieden sein. Wollte man das Mittel 

 aus beiden nehmen, so würde man großen Irrthümern ausgesetzt sein. Man sucht daher die Punkte zu 

 bestimmen, welche von beiden Gesichtslinien die geringste Entfernung haben. Die Entfernung zweier solcher 

 Punkte ist D ]f [(x'-x") 2 ■+- (y' — y") 2 -t- (z' — z") 2 ]. Damit der Ausdruck ein Kleinster werde, 

 muß der Differenzialquotient nach dx' und dx« gleich Null sein. Man erhält 



x< - x« 4. ly'-j")*' 4- Ö-f3*r = « ««d Cx'-x'O + Cy'-y")^ + & - = o, 



Z—t •••• :!;:: — - • ^ 



utidy' - y" = (x' - daher i)== V [(a'-a") 2 +(b'-b") 2 -Ka<b' -a"b') 2 ]. 



Berücksichtiget man, daß z'— z" '= — (x ~*'' y , Ca '~~ a = b' x' - b"x" -h b" m -+- d ..(1) 



a b ' — ab' 



x' — x" (b' — b") 

 y ' _ y = a'b" — a"b' = • — a" x" -t- a" m — n ....(2) 



und multiplicirt man die erste Gleichung mit (a' — a") und die zweite mit b' — b", und zieht die obere 

 von der unteren ab, so erhält man 



fr'— x") (a/ ~ a ,'?ü"*" C ^ ~ b )2 = - (a'b"-a"b') (x'-x") -(a'b" a"b') m-n (b'-b") - (a'-a") d. 

 a b — a " b' 



Daher x '~ x " _ Ca" b' — a' b ') m -4- n (b" — b') -+- d (a" — a') 



a'b" — a"b' (a' — a") 2 -+- (b' — b") 2 (a'b" — a"b')' 



und D — C a " b '— a ' b ") m -+- n (b" — b') -+- d (a" — a') 



V [Ca' — a") 2 -+- (b' — b") 2 ■+■ (a'b"— a"b') 2 ] 



Dieser Ausdruck hat den großen Vorzug, daß man in kürzester Zeit selbst ohne Anwendung der 

 Logarithmen mit Leichtigkeit die kürzeste Distanz der Gesichtslinien ermitteln und darnach beurtheilen 

 kann, ob überhaupt von der Beobachtung Gebrauch zu machen sei, während die Formel, wie sie von 

 Brandes in seinen Unterhaltungen für Freunde der Physik mitgetheilt wird, die Anwendung von minde- 

 stens siebenstelligen Logarithmen verlangt, welche bisweilen kaum ausreichen, da der Abstand als die 

 Differenz sehr großer Zahlen angegeben wird. 



EHminirt man aus (1) und (2) x' oder x" so erhält man: 

 x' = — m [(b'-b")b"-f-(a'-a")a"] + n[a'-a"-<-b"(a'b"-a"bO]-d[b'-b"-a" (a'b"-a"b')] 



(a'b"-a"b') 2 -+- (b'-b")' 2 ■+- (a'-a")- 



