Neue Integkations-Wege. 



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wie früher. Endlich sei die reelle Zahl (ja) so, dass — 1 < jx < -+- ~ dabei |x, ganz ge- 

 brochen, oder irrational. Dann hat man durch theilweise Integration : 



i 9 (xT dx = fp±±^i .dx = -Ц f±.äf^ = i ^ + 



J ~ y J J (ц-і-І)ф, |» + 1іф, • ц+1 9, (x-t-W Фі 2 



Für ganzzahlige (ix) erkennt man immittelbar, wenn man sich cp** entwickelt denkt, dass das 

 Integral mit 0 anfängt. Stellt man sich für gebrochene (jjl) . ф 1 * in eine convergente unend- 

 liche Reihe nach Potenzen von x entwickelt vor, so findet dasselbe statt. — Also gilt für 

 identische Transformationen das unter № (1) Gesagte auch hier. Bezeichnet man ferner die 

 Produkte (ц.-*-і>); (y--*-p) -*-p -*-l) ; (v--*-p) (y.-*- p-*-l) (|i-Hj9-*-2). . .(jx-i-p-t-v— 1) 

 der Reihe nach mit 0».н-р)і; (y-~*~p\- • . (и- so erhält man durch fortgesetzte theil- 



weise Integration: 



Л ™ ~~ (^-н1)Ф! \ (Ц-»-^.^ 2 (^-ь2) 2 . Фі 4 ^ (|лн-2) 3 . 9і в ^ * ' >-*-2) ѵ _ іФі 2 *- 2 / 

 _ 1 . ^е^ѵ^ 



Die Coefficienten a x a 9 a 3 . . . a v sind die Früheren. 



Sei nun zunächst: 0 < ji < 1, und bezeichnet man in der Gleichung 22 das Schluss- 

 integral: ^^"гѴ^ ^ ж m it so erhält man für jx = o: 



1.9, \ 2j.çi* 2 2> V 2 з-Фі 6 2 V _ X .9! 2V 2 ; 



0< |X < 1 . . . . 



Л ? (і*-Ы)Фі Г (И-2) Фі 2 ^ (ц-2) Фі « Ои-Й) fi 6 Л Ц • Z * 



für ix = 1 : 



Л Y 2.9, \ 



Ф-Ol Ф 2 -а 2 Фі -а 3 . Ф ; On 



3,. Фі 2 3 2 . Фі * 3 3 .9і 6 ' ' ' В.^.9! 2 



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Nun lassen sich die Reste i? 0 und E 1 in № 23 und № 25, ohne Schwierigkeit direkt 

 berechnen. Wenn daher, wie später an bestimmten Beispielen gezeigt werden soll, die end- 

 lichen Reihen in 23 und 25, dem wirklichen Betrage von ж, und f 0 x q>(%) dx nahe kom- 

 men, so muss für ein beliebiges, zwischen 0 und 1 liegendes (jx) unter den bei № 1 aus- 

 gesprochenen Bedingungen der Werth von 



