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P. Helmling, 



Die drei Werthe von В mit Zuziehung von je 5, 6,7 Gliedern der obigen Reihen 

 sind also: 



5,7536472; 5,7539580; 5,7539173 



und ihre Differenzen bezüglich: 



-4- 0,0003108; — 0,0000407 



d. h. man hat mit der hier angewandten Methode den Betrag des irrationalen Integrals: 

 y o 2 (x s -+- 2x~ -+- 1 ІЖ-+- l) b • dx bis zur vierten Decimalen richtig, d. i. bei dem Mangel 

 einer andern brauchbaren Methode, eine schätzbare Annäherung. Der Grund, weshalb 

 die Annäherung nicht weiter reicht, ist offenbar darin zu suchen, dass die für in An- 

 wendung gebrachte Formel nur eine empirische sein kann. Es ist wol nicht überflüssig, hin- 

 zuzufügen, dass die Reihe № 22 mit wachsendem (jjl) immer rascher abnimmt, und wenn 

 'jjl > <p wird, sogar noch mehr als die Reihe (1). Bei grossem (jjl) sind übrigens A und G 

 sehr umständlich zu ermitteln. 



Die im Vorhergehenden in Anwendung gebrachte Methode lässt sich noch verwerthen 

 bei der Form: 



wo <р(ж) wie früher, positiv reell, aber beliebig, und 



= а • x m -+- cL x x m ~ l -+- и- a m _ 1 - x a m 



Dann hat man e* m = e W+v*H m m Setzt man daher <p(i) -+- ц. • Щх) = F(x) 



so wird F l = 9 X -h jjl • Die Darstellung der höheren Differentialquotienten von ~ wird 

 sehr einfach, wenn man den Nenner in reelle oder complexe Faktoren des ersten Grades 

 zerlegen kann. Denn alsdann ist: 



h = i _L_ _|_ _I*_V 



ф а \x-t-r l x-t-r 2 x-*-r m )' 



und ferner: 



<&_ /фЛ _ (-!)»■»! / 1 1 ' 1 \ 



wobei jedoch die einzelnen Summanden rechts für kein x, von 0 bis x unendlich gross wer- 

 den dürfen. An die Stelle der früheren Ф п ф 2 , ? 8 - • • •?» treten dann F 1 , F 2J F 3 . . . .F r 



