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Dr. Hugo Gyldén, 



Ausserdem können wir annehmen, dass l in к übergeht, wenn die Differenz F 1 — F ver- 

 schwindet. Das Umgekehrte findet jedoch nicht statt, denn ganz gleichen Werthen vonk und 

 l können sehr grosse Unterschiede in den Winkeln F und F x entsprechen, wie es z. B.^der 

 Fall ist, wenn die beiden Körper in zwei verschiedenen Punkten einander nahe kommen 

 können. 



Die Entwicklung des Ausdruckes (Ä) nach dem Argumente x ist aber in den Fällen, 

 wo Д nicht als eine einfache elliptische Function dargestellt werden soll, von der Ent- 

 wickelung der negativen Potenzen eines Ausdruckes der Form (B) oder (B r ) abhängig ge- 

 macht. Hiermit sind wir zu einer Aufgabe geführt worden, für deren Lösung bis jetzt 

 sehr wenig geschehen ist. Es ist auch nicht gegenwärtig meine Absicht, diese Aufgabe in 

 ihrem ganzen Umfange zu behandeln, sondern blos eine Lösung derselben anzugeben. 



Da l x jedenfalls kleiner als die Einheit angenommen werden muss, so ist die Ent- 

 wickeluug 



V 



(ж ) = a o°° — 2 a P cos (2 «^ + ^-^+2 a 4 (V) cos 2 (2 am~x-*-F x — F) ■ • • • 



(V) 



stets convergent, wenn ж auf reelle Werthe beschränkt bleibt. Die Coefficienten a er- 

 hält man dabei in bekannter Weise ohne sonderliche Mühe. 



Gelingt es uns nun auch , die folgenden EntWickelungen herzustellen 



cos 2 n am ^ x = Г 0 (2н) -+- 2 Г 2 (2п) cos 2 x 2 Г 4 (2,() cos 4 x -+- . . 

 sin 2 n am - — x = 2 2 < 2,г) sin 2 x -л- 2 2, (2и) sin 4 x -+- . . . , 



TC 1 * 7 



so erlangen wir leicht als das gesuchte Resultat 



V 



2" 



(3f) = V — Г о (2) C0S ^ - F ) 2а ^ Г о (4 ' C0S 2 Œ - 



— 4 [а 2 (ѵ) Г 2 (2 ' cos (Fj— F) — а 4 (Ѵ) Г 2 и) cos 2 (F —F) -f- • • } cos 2 ж 



-f- 4 {<> 2 2 ( ' 2) sin (F — F) — a™ 2 2 W) sin 2 {F — F) -h- - } sin 2 ж 



— 4 {* 2 (ѵ > Г 4 (2) cos (F — F) — а 4 ( "> Г 4 (4) cos 2 (F,— F) н-.} cos 4 ж 



Wir entnehmen hieraus, dass dieEntwickelung derjenigen rationalen Verbindungen 

 von sin «m — x und cos am — x, welche durch die Ausdrücke sin n am — x und 



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cos n am ~ x repräsentirt werden, eine besonders wichtige Rolle bei unseren Unter- 



