10 De, Hugo Gyldén, 



sowie überhaupt die von Potenzen einfacher elliptischer Functionen in den vorliegenden Unter- 

 suchungen aufgenommen. Die Regeln für die Ausführung der dabei vorkommenden nume- 

 rischen Rechnungen finden sich in dem ersten Abschnitte zusammengestellt. 



IS. Entwickching von Potenzen einfacher elliptischer Functionen. 



§ 1- 



Die Gleichungen, welche als Grundlage der in der Ueberschrift genannten Ent~ 

 Wickelungen dienen, sind die folgenden: 



I ä% " dtST 1 ** = n ( n — !) sip am u n ~*—n. n (1 -ь/фіп (ш/+и(й+ l)k 2 smamu n4 -* 



i 



■ ll- COS am U n / iw/o П— 2 /1 л;й\ И / i\72 n н- 2 



(1) ' ~ щі- — =w(w — l)k 2 cos amu ~t~n,n(l — 2к ) cos am и — и(мн- l)fc cos am w 



d- Д amu n , n ,o 4 n — 2 /і ;'2> л n i л \ к n-\-i 



— — = — n(n — 1 ) W Д am и +й.п(1 + г) Д am m — и (w ч- 1 ) Д am и 



Sie können zwar jede für sich sehr leicht abgeleitet werden, sie folgen aber auch auseinan- 

 der, wie Jacobi in den Fundamenta nova gezeigt hat. So ergiebt sich z. B. die zweite 

 dieser Gleichungen aus der ersten durch die Bemerkung, dass 



sin am (k' (К — w), l/—X ~) = cos am и 



Die fraglichen Entwickelungen stelle ich nun durch folgende Ausdrücke, dar: 



(sin am 11 x Y = X 0 ( " ) — ^ Х 2 (2И > cos 2 x - ^ 4 X 4 (2n > cos 4 x — • 



sm am — ж — — " - л х »шжн- — l a 3 sin о ж+- 

 V тс / 1—2 î— g 3 



. (cos am 2 ^Г= ТГ*+Щ*Г>**Ъ* * ё$ Г Г> cos Ш^у 

 (cos ат^хТ^ = àj£ Y^cosx-*- Щ X) cos 3 яч- 

 (bam 2 -lx) m '===Z™ -+- ^ Z 2 (2M) cos cos4^-h.. 



